Question

已知椭圆C的中点在原点,焦点在x轴上,左右焦点分别为F1F2,且F1F2=2,点(1,3/2)

求 过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点，且△AF2B的面积为12根号2/7，求直线l的方程

Answer 1

由题得到F1（-1，0），F2（1，0）
点P（1，3/2）在椭圆上，则有2a=PF1+PF2=根号（4+9/4）+根号（9/4）=5/2+3/2=4
即有a=2,c=1,b^2=4-1=3
即椭圆方程是x^2/4+y^2/3=1.
设直线方程是x=ky-1.
代入椭圆方程中得到(ky-1)^2*3+4y^2-12=0
(k^2y^2-2ky+1)*3+4y^2-12=0
(3k^2+4)y^2-6ky-9=0
y1+y2=6k/(3k^2+4)
y1y2=-9/(3k^2+4)
(y1-y2)^2=(y1+y2)^2-4y1y2=36k^2/(3k^2+4)^2+36/(3k^2+4)=(36k^2+108k^2+144)/(3k^2+4)^2=144(k^2+1)/(3k^2+4)^2
S(AF2B)=1/2F1F2*|y1-y2|=1/2*2*12根号（k^2+1)/(3k^2+4)=12根号2/7
解得：k^2=1
k=+1或-1
即直线L的方程是x-y+1=0或x+y+1=0