线性代数:设A和B是n阶方阵，且A可逆，B^2+AB+A^2=0，证明B和A+B均可逆
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A^2+2AB+B^2=0,A(A+2B)=-B^2,-(B^-1)^2A(A+2B)=I（I是单位阵）,从而A+2B可逆,其逆矩阵为-(B^-1)^2A；-A(A+2B)(B^-1)^2=I,从而A可逆,其逆矩阵为-(A+2B)(B^-1)^2
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抄的时候麻烦看清题目好伐
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B^2+AB=-A^2
∴B(A+B)=-A^2
∵A可逆，
∴|A|≠0
∴|B|·|A+B|=|-A^2|
=(-1)^n·|A|^2
≠0
∴|B|≠0，|A+B|≠0
∴B 和 A+B 均可逆
∴B(A+B)=-A^2
∵A可逆，
∴|A|≠0
∴|B|·|A+B|=|-A^2|
=(-1)^n·|A|^2
≠0
∴|B|≠0，|A+B|≠0
∴B 和 A+B 均可逆
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【附注】
(1)A可逆的充要条件是
|A|≠0
(2)|AB|=|A|·|B|
(3)A是n阶方阵，
|kA|=k^n·|A|
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不好意思，现在只学了用定义法证明矩阵可逆
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