Question

请教 柯西中值定理的证明

在看证明时有一个地方不明白 在证拉格郎日定理时构造的辅助函数值一看两个端点f(a),f(b)就知道等于0了（因为两端点连线和原函数相交）
证柯西中值定理时没给出图象 但根据条件只要第二个函数导数不为0其他什么形状都可以 也就是说在[a,b]区间内两个函数有可能没有交点 也就是说辅助函数（第一个函数减第二个函数）的两端点值不为0 。。。
可是罗尔定理能运用的要求就是端点值为0 就是这个地方不明白 请高手指教
课本上是用表示有向线段MN的值的函数作为辅助函数的, 点M的纵坐标是y=f(x), 点N的纵坐标我自己在证明时写成了y=F(a)+[F(a)-F(b)]/(b-a)[F(x)-a] ,这样证出来的还是拉格郎日中值定理，书上的证明N点的纵坐标是y=f(a)+[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)][F(x)-F(a)] ,为什么 N点明明只在第二个函数F(x)上 ，怎么会和f(x)扯上关系了，连边都不沾这个纵坐标是怎么写出来的

Answer 1

如图所示：

柯西(Cauchy) 中值定理是微分中值定理的三大定理之一，它比罗尔(Rolle) 定理与拉格朗日(Lagrange) 中值定理更具一般性。

也具有更广泛的应用性，但大多高等数学的教材中仅介绍了柯西中值定理及其证明，对该定理的应用涉及较少，不利于学生对该定理的理解并发挥其应用价值。下面介绍一下利用柯西中值定理在求极限中的应用。

扩展资料：

柯西中值定理的一个最重要的应用就是可以推导计算待定型的极限最有效的方法——洛必达法则。洛必达法则是求两个无穷小量或两个无穷大量的比的极限。

中值定理是微积分学中的基本定理，由四部分组成。内容是说一段连续光滑曲线中必然有一点，它的斜率与整段曲线平均斜率相同。中值定理又称为微分学基本定理，拉格朗日定理，拉格朗日中值定理，以及有限改变量定理等。

参考资料来源：百度百科-中值定理

参考资料来源：百度百科-柯西中值定理

Answer 2

还用那么证明吗？我也不知道为什么教材中证明的那么差，追求那种几何意义到底能帮助我们理解什么？对角线相乘再相减就行了，

令φ(x)=f(x)[g(b)-g(a)]-g(x)[f(b)-f(a)]，

容易验证，φ（b）＝φ（a），用Rolle定理不就得了。