Question

4.2.若平面内有n条直线,其中任何两条不平行,且任何三条不共点,求证：这条n直线把平面分割成

1/2(n^2+n+2)个区域

Answer 1

1/2(n^2+n+2)=n(n+1)/2+1=(1+2+3+……+n)+1
用数学归纳法：
1条直线最多将平面分成的块数：2=1+1
2条直线最多将平面分成的块数：4=(1+2)+1
3条直线最多将平面分成的块数：7=(1+2+3)+1
假设k条直线最多将平面分成的块数：(1+2+3+……+k)+1=k(k+1)/2+1
考察k+1条直线的情形：已知k条直线已经将平面分成k(k+1)/2+1个部分，在此基础上新增一条直线。
则第k+1条直线与前k条直线的交点最多有k个，这k个交点将第k+1条直线分成了k+1个部分(k-1个线段+2条射线)，这k+1个线段及射线分别位于之前k条直线将平面分成的k+1个部分之中，且又将这k+1个部分各自一分为二。故新增第k+1条直线后，平面又新增了k+1个部分。于是k+1条直线最多将平面分成的块数：(1+2+3+……+k)+1+(k+1)=(k+1)(k+2)/2+1，结论也成立

Answer 2

这题本质是数列问题。由题知，一条直线把平面分成两部分，即A1=2，以后第n条直线分割部分增加n个区域，即An=An-1+n。
接下来数列求和，An=2+3+4+...+n=1+1/2*n(n+1)=1/2(n^2+n+2)