数分 求椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1在第一象限中的切线,使它被坐标轴所截得线段最短

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mscheng19
2012-11-21 · TA获得超过1.3万个赞
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对x^2/a^2+y^2/b^2=1两边对x求导得
2x/a^2+2y*y'/b^2=0,因此切线斜率是
y'=-b^2x/(a^2y)。
切线方程为Y-y=-b^2x/(a^2y)(X-x),
分别令X=0和Y=0解得切线与两个坐标轴的交点为
(0,b^2/y)和(a^2/x,0)。
切线段程度的平方是
b^4/y^2+a^4/x^2=a^2(b^2/(a^2-x^2)+a^2/x^2)。
函数f(x)=b^2/(a^2-x^2)+a^2/x^2,
f'(x)=2b^2x/(a^2-x^2)^2-2a^2/x^3=0,
注意到a^2-x^2>0,可解得x=a根号(a/(a+b))。
对应的y=b根号(b/(a+b))。
切线方程是Y=-根号(b/a)x+根号(b(a+b))。
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