Question

如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．

（1）如图1，求证：AE=DF；
（2）如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明理由；
（3）如图3，若AB=2根号3，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G．
①直接写出线段AE长度的取值范围；
②判断△GEF的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）

 

 

证明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD
∵AM=DM
∴△AEM≌△DFM
∴AE=DF
（2）

 

△GEF是等腰直角三角形
证明：过点G作GH⊥AD于H
∵∠A=∠B=∠AHG=90°
∴四边形ABGH是矩形
∴GH=AB=2
∵MG⊥EF
∴∠GME=90
∴∠AME+∠GMH=90
∵∠AME+∠AEM=90
∴∠AEM=∠GMH
∴△AEM≌△HMG
∴ME=MG
∴∠EGM=45
由（1）得△AEM≌△DFM
∴ME=MF
∵MG⊥EF
∴GE=GF
∴∠EGF=2∠EGM=90
∴△GEF是等腰直角三角形
（3 ）

①

 

 

当C、G重合时，如图
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠ADC=90
∴∠AME+∠AEM=90
∵MG⊥EF
∴∠EMG=90
∴∠AME+∠DMC=90
∴∠AEM=∠DMC，
∴△AEM∽△DMC
∴AE/MD=AM/CD，MD=AM=2，CD=2√ 3

∴AE=2/3(√ 3)

②

 

 

△GEF是等边三角形
证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H
∵∠A=∠B=∠AHG=90
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2√ 3
∵MG⊥EF
∴∠GME=90
∴∠AME+∠GMH=90
∵∠AME+∠AEM=90
∴∠AEM=∠GMH
又∵∠A=∠GHM=90
∴△AEM∽△HMG
∴EM/MG=AM/GH

在Rt△GME中
∴tan∠MEG=MG/EM=GH/AM=√ 3

∴∠MEG=60
　由（1）得△AEM≌△DFM
∴ME=MF
∵MG⊥EF
∴GE=GF
∴△GEF是等边三角形

Answer 2

俊狼猎英团队为您解答

⑴在RTΔAME与RTΔDMF中，
∠A=∠EDM=90°，∠AME=∠DMF，AM=DM，
∴ΔAME≌ΔDMF，∴AE=DF。
⑵ΔGEF是等腰三角形。
理由：由⑴全等得：MEMF，∵MG⊥EF，∴GM垂直平分EF，∴GE=GF。
⑶①0<AE≤2√3；
②不对AE或点G加以限制，ΔGEF依然只是等腰三角形。
由于题目给出AB=2√3，可能还有其它限制让ΔGEF为等边三角形，
但只依据目前条件，是不可能得到的。

追问

帅哥 你用E与B重合 就知道了 是等边三角形 不过在数学大题里不能用特殊解决一般

追答

那是特例，但⑶中只是一般情况。

追问

呵 你没看第三问的题干么 只要交于延长线的都算

追答

设AE=X，CG=Y，则BE=2√3-X，CF=2√3+X，BG=4+Y，
由GE=GF得：(2√3-X)^2+(4+Y)^2=(2√3+X)^2+Y^2，整理得：Y=√3X-2，
∴GE^2=(2√3-X)^2+(4+√3X-2)^2=4X^2+16，
又ME^2=X^2+4，∴ME^2/GE^2=1/4，
∴cos∠MEG=ME=GE=1/2，∴∠MEG=60°，
又GE=GF，
∴ΔGEF是等边三角形。

Answer 3

（1）证明：在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM=90°，∠AME=∠FMD
∵AM=DM
∴△AEM≌△DFM
∴AE=DF
（2）
△GEF是等腰直角三角形
证明：过点G作GH⊥AD于H
∵∠A=∠B=∠AHG=90°
∴四边形ABGH是矩形
∴GH=AB=2
∵MG⊥EF
∴∠GME=90
∴∠AME+∠GMH=90
∵∠AME+∠AEM=90
∴∠AEM=∠GMH
∴△AEM≌△HMG
∴ME=MG
∴∠EGM=45
由（1）得△AEM≌△DFM
∴ME=MF
∵MG⊥EF
∴GE=GF
∴∠EGF=2∠EGM=90
∴△GEF是等腰直角三角形
（3?）
①当C、G重合时，
∵四边形ABCD是矩形
∴∠A=∠ADC=90
∴∠AME+∠AEM=90
∵MG⊥EF
∴∠EMG=90
∴∠AME+∠DMC=90
∴∠AEM=∠DMC，
∴△AEM∽△DMC
∴AE/MD=AM/CD，MD=AM=2，CD=2√ 3
∴AE=2/3(√?3)
②△GEF是等边三角形
证明：过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H
∵∠A=∠B=∠AHG=90
∴四边形ABGH是矩形．
∴GH=AB=2√3
∵MG⊥EF
∴∠GME=90
∴∠AME+∠GMH=90
∵∠AME+∠AEM=90
∴∠AEM=∠GMH
又∵∠A=∠GHM=90
∴△AEM∽△HMG
∴EM/?MG=AM/GH
在Rt△GME中
∴tan∠MEG=MG/EM=GH/AM=√?3
∴∠MEG=60
　由（1）得△AEM≌△DFM
∴ME=MF
∵MG⊥EF
∴GE=GF
∴△GEF是等边三角形