Question

初中数学解方程

已知x、y满足x^3-3x^2+5x=1;y^3-3y^2+5y=5,求x+y的值

Answer 1

答案是2，下面是过程。
我们注意到：
x^3-3x^2+5x-3=-2；
y^3-3y^2+5y-3=2；
我们设f(x)=x^3-3x^2+5x-3(1-3=-2,5-3=2,互为相反数)
下面我们求f(x)的导数=3x^2-6x+5=3(x-1)^2+2关于x=1,对称，我们知道，奇函数的导数关于x=0对称。
所以f(x+1)
=(x+1)^3-3(x+1)^2+5（x+1)-3
=x^3+2x是奇函数。
所以f(x)是一个奇函数向右平移一个单位得来的（这点很重要）
令g(x)=f(x+1)=x^3+2x,显然是个奇函数；
我们令p+1=x;q+1=y;
g(p)=f(p+1)=f(x)=p^3+2p=-2;
g(q)=f(q+1)=f(y)=f(q+1)=q^3+2q=2;
所以,p+q=0（注意，这是为什么）;
而p=x-1;q=y-1;
即：
x-1+y-1=0;
得到：x+y=2;解毕

Answer 2

两式可化为：
(x-1)³+2(x-1)+2 = 0
(y-1)³+2(y-1)-2 = 0；
设M = x-1,
N = y-1.
原式变为：
M³+2M+2 = 0,
N³+2N-2 = 0。
两式相加得：
M³+N³+2M+2N =0。
(M+N)(M²-MN+N²+2) = 0；
得(M+N) [ (M-N/2)² + 3*(N²)/4 + 2 ] = 0；
由于(M-N/2)² + 3*(N²)/4 + 2 > 0。
故M+N=0。
于是x+y=2

Answer 3

因式分解化为：
(x-1)³+2(x-1)+2 = 0
(y-1)³+2(y-1)-2 = 0；
设M = x-1,
N = y-1.
所以变为：
M³+2M+2 = 0,
N³+2N-2 = 0。
两式相加得：
M³+N³+2M+2N =0。
(M+N)(M²-MN+N²+2) = 0；
得(M+N) [ (M-N/2)² + 3*(N²)/4 + 2 ] = 0；
由于(M-N/2)² + 3*(N²)/4 + 2 > 0。
故M+N=0。
于是x+y=2

Answer 4

不知道

Answer 5

2