Question

一道二重积分的问题，求救啊

请问为什么计算∫∫[D(x)]xdydz就直接等于D(x)的面积了
二重积分不是算体积的吗？

Answer 1

∫∫xdydz=x∫∫1dydz，所以它指的是x乘上积分区域Ω往YOZ平面的投影区域的面积
黎曼积分的一个共同性质是∫D 1dM=D的度量。
当D是区间时，表示区间长度
当D是平面时，表示平面面积
当D是立体时，表示立体体积。
注意被积函数是1时才有这样的性质！
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

追问

这个1是不是就是表示z轴的值恒为1，然后体积=1*面积，结果就是面积了？

追答

如果对于二重积分而言，
∫∫D f(x,y)dxdy可以表示密度为f(x,y)的区域D的质量，也可以表示高为z=f(x,y)，底为D的曲顶柱体的体积，所以当被积函数是1时，是可以按照你的说法来理解的！