Question

问一道高一数学题 函数的

已知函数f(x)在R上递减，求出f(-x+1)和f(x^2+1)单调区间

Answer 1

可以用狡猾方法
令f(x)=-x
于是f(-x+1)=-(-x+1)=x-1
于是f(-x+1)在R上单调递增
f(x²+1）=-（x²+1）=-x²-1
于是f(x²+1）在（-无穷，0）上单调递增
在（0，+无穷）上单调递减

，f(x)在R上递减，就是对于x1<x2,有f(x1)>f(x2)
于是对于f(-x+1)就是当-x1+1<-x2+1时有f(-x1+1)>f(-x2+1)
此时由-x1+1<-x2+1得出x1>x2
就是当x1>x2时，有f(-x1+1)>f(-x2+1)
于是f(-x+1)在R上递减

当x1²+1<x2²+1时，f(x1²+1）>f(x2²+1）
此时由x1²+1<x2²+1得出x1²<x2²
当0<x1<x2,就是有f(x1²+1）>f(x2²+1），于是f(x²+1）在x>0上递减
当x2<x1<0时，有f(x1²+1）>f(x2²+1），于是f(x²+1）在x<0上递增

Answer 2

【显然是复合函数的单调性问题】
(1)令u=-x+1
∴f(-x+1)由y=f(u)和u=-x+1两个函数复合而成
∵u=-x+1在R上递减；
y=f(u)也在R上递减；
由复合函数，同增异减的法则知：
f(-x+1)在R上递增；
(2)令t=x²+1
∴f(x²+1)由y=f(t)和t=x²+1两个函数复合而成
∵t=x²+1这个二次函数在（−∞，0）递减；在（0，+∞）递增。
y=f(t)在R上递减；
由复合函数，同增异减的法则知：
f(x²+1)在（−∞，0）递增；在（0，+∞）递减。

Answer 3

用狡猾方法
令f(x)=-x
于是f(-x+1)=-(-x+1)=x-1
于是f(-x+1)在R上单调递增
f(x²+1）=-（x²+1）=-x²-1
于是f(x²+1）在（-无穷，0）上单调递增
在（0，+无穷）上单调递减
f(x)在R上递减，就是对于x1<x2,有f(x1)>f(x2)
于是对于f(-x+1)就是当-x1+1<-x2+1时有f(-x1+1)>f(-x2+1)
此时由-x1+1<-x2+1得出x1>x2
就是当x1>x2时，有f(-x1+1)>f(-x2+1)
于是f(-x+1)在R上递减
当x1²+1<x2²+1时，f(x1²+1）>f(x2²+1）
此时由x1²+1<x2²+1得出x1²<x2²
当0<x1<x2,就是有f(x1²+1）>f(x2²+1），于是f(x²+1）在x>0上递减

Answer 4

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