初二数学题:如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,交AD于点M,AN平分∠DAC,交BC于点N……
△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,交AD于点F,交AC于点E.若EG垂直BC于C,连接FG。求证:四边形AFGE是菱形...
△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于点D,BE平分∠ABC,交AD于点F,交AC于点E. 若EG垂直BC于C,连接FG。求证:四边形AFGE是菱形
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证明:,∠BAC=90°,
BE平分∠ABC,
EG⊥BC
∴EA=EG
∠BEA=∠BEG
又∵AD⊥BC,EG⊥BC
∴AF∥EG,∠AFE=∠BEG=∠BEA
∴AF=AE=EG
∴四边形AFGE是菱形
BE平分∠ABC,
EG⊥BC
∴EA=EG
∠BEA=∠BEG
又∵AD⊥BC,EG⊥BC
∴AF∥EG,∠AFE=∠BEG=∠BEA
∴AF=AE=EG
∴四边形AFGE是菱形
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因为BE平分∠ABC,角BAC与角EGB均为直角,所以得出AE=EG,且角AEB=角GEB
因为EF=EF,所以三角形AFE与三角形GFE全等,所以角AFE=角GFE,因为AD//EG,所以角AFE=角GEF,所以角GEF=角GFE,所以EG=FG,同理AF=AE=EG=FG,所以四边形AFGE是菱形
因为EF=EF,所以三角形AFE与三角形GFE全等,所以角AFE=角GFE,因为AD//EG,所以角AFE=角GEF,所以角GEF=角GFE,所以EG=FG,同理AF=AE=EG=FG,所以四边形AFGE是菱形
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由BE 角分线,EG=AE
又FE=FE
<AEF=<FEG
故三角形AFE和三角形GFE全等
<FAE=<EGF=<DFG
故FG//AE
又AD//EG
AEGF是平行四边形
又AE=EG
故AEGF是菱形
又FE=FE
<AEF=<FEG
故三角形AFE和三角形GFE全等
<FAE=<EGF=<DFG
故FG//AE
又AD//EG
AEGF是平行四边形
又AE=EG
故AEGF是菱形
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∠AFE=∠ABE+∠BAD=1/2∠ABC+∠BAD;∠AEB=∠C+EBC=∠C+1/2∠ABC;∠BAD=∠C
∴∠AFE=∠AEB=>AF=AE---(1)
BE平分∠ABC,EA⊥AB,EG⊥AB=>AE=EG---(2) ; (1)(2)=>AF=EG----(3)
AD⊥BC,EG⊥BC=>AF//EG----(4); (3)(4)=>平行四边形AFGE---(5)
(2)(5)=>四边形AFGE是菱形
∴∠AFE=∠AEB=>AF=AE---(1)
BE平分∠ABC,EA⊥AB,EG⊥AB=>AE=EG---(2) ; (1)(2)=>AF=EG----(3)
AD⊥BC,EG⊥BC=>AF//EG----(4); (3)(4)=>平行四边形AFGE---(5)
(2)(5)=>四边形AFGE是菱形
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过F点作FG⊥AB,交AB与G点。 因为:BE平分∠ABC、∠BGF=∠BDF=90°、BE=BE 所以:△BFG全等于△BDF 所以:∠BFG=∠BFD 因为:∠ABE=∠FBG、∠BGF=∠BAE=90° 所以:∠BFG=∠BEA 由于:∠AFE=∠BFD(互为对角) 所以由上得出:∠BFG=∠BFD=∠AFE=∠BEA 所以:△EAF为等腰三角形 所以:AE=AF
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∠BAE=∠BGE ∠ABE=∠GBE BE=BE △ABE=△GBE 所以AE=EG
且∠AEF=∠GEF 所以:四边形AFGE是菱形
且∠AEF=∠GEF 所以:四边形AFGE是菱形
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