Question

二阶常系数齐次微分方程有几种特解？

Answer 1

首先，观察解的形式。我们知道，二阶常系数非齐次微分方程的通解为：

对应齐次方程的通解 + 非齐次方程的特解

而齐次方程的特解形式很有特点！ 

要么是 第一种情况：C1e^(r1x)+C2e^(r2x), 要么是第二种情况：(C1+C2x)e^(rx),

再要么是第三种情况： e^(rx)（C1cosax+c2sinax）

你自己观察一下形式，发现，他的e^(rx)项有两个， e^x,e^(2x)

所以，可以肯定是满足第一种情况的。所以他的齐次方程对应的特征根就是 r1=1,r2=2

那，C1e^x+C2e^(2x)就是他的齐次方程的解,

那余下的xe^x就是非齐次方程的特解了。

但你可能会这么反驳我！

你凭什么说是第一种情况！！ 那我看见里面有e^x, xe^x两项。

我还可以认为是第二种情况呢！刚还是 (C1+C2x)e^x,对应的特征值为二重根r=1。

不也可以这么考虑么？

嗯，你说的没错，可以这么考虑。

但接下来的一步就限制了这种情况的发生。

因为我们观察到非齐次微分方程的右边的形式为 ：γe^x

那对于其特解。只有可能是 Ae^x, 是不可能出现e^(2x)项的。想想看，e^(2x）求导，四则运算后怎么得，都是关于e^(2x）的项，是不可能出现e^x的项次的！！

所以，到此为止，你说的这种情况就夭折了，

最终，只有我说的情况满足！！

这个题目告诉我们：一定要熟练掌握二阶常系数齐次方程，非齐次方程解的特征！