Question

求一道高中数学，要详细过程，谢谢

已知函数f(x)=2axˆ3+9axˆ2-6x+a在区间（-2，-1）上是增函数，且在区间（-1/2，0）上是减函数，则实数a的取值范围是（）

Answer 1

f(x)导数=6axˆ2+18ax-6=6(axˆ2+3ax-1) 而xˆ2+3x=x(x+3) 当x∈（-2，-1）或 x∈（-1/2，0）时都是负的
所以 设g(x)=1/(xˆ2+3x) 当x∈（-2，-1）时 g(x)大于-1/2
当x∈（-1/2，0）时 g(x)＜-4/5
所以 f(x)在区间（-2，-1）上是增函数 得导数大于0在（-2，-1）恒成立
得到axˆ2+3ax-1＞0 ∴a＜1/1/(xˆ2+3x) 由上知 a≤-1/2
同理 f(x)在区间（-1/2，0）上是减函数，得导数＜0在（-1/2，0）恒成立
得到 a≥-4/5
综上 a∈[-4/5,-1/2]

追问

非常感谢您的回答，能不能再帮我看一下这道题
设函数F(x)=alnx+b/x-2a,若对于任意的a属于(1,4)总有F(X)大于0,则最小的正整数B=

追答

首先参变分离 要求b的范围 把b分离出来 因为x＞0 得到 a(xlnx-2x)＞-b
设g(x)= a(xlnx-2x)
g(x)导数=a(lnx-1) 因为1＜a＜4
所以 当x＞e时 g(x)单调递增
当0＜x＜e时 g(x)单调递减
∴当x=e时 g(x)有最小值g(e)=-ae ∴-ae＞-b 得 b＞ae 又∵a∈（1,4） ∴最小正整数b为12

Answer 2

f´(x)=6ax²+18ax-6 =6(ax²+3ax-1)
∴f´(x)≥0在区间（-2，-1）上恒成立且f´(x)≤0在区间（-1/2，0）上恒成立；
∴ax²+3ax-1≥0在区间（-2，-1）上恒成立且ax²+3ax-1≤0在区间（-1/2，0）上恒成立；
x²+3x=x(x+3) 在区间（-2，-1）上h和（-1/2，0）上都为负

∴a≤1/(x²+3x)在区间（-2，-1）上恒成立且a ≥1/(x²+3x)在区间（-1/2，0）上恒成立；
∴a≤ -1/2 且a≥-4/5
∴ -4/5≤a≤ -1/2

追问

非常感谢您的回答，能不能再帮我看一下这道题
设函数F(x)=alnx+b/x-2a,若对于任意的a属于(1,4)总有F(X)大于0,则最小的正整数B=

追答

满意答案居然是个错的，哎……

Answer 3

f(x)=2axˆ3+9axˆ2-6x+a
求导f'(x)=6axˆ2+18ax-6，由于导函数为2次函数，中心线为x=-3/2，所以需要考虑增区间的一个端点和-3/2这个点（因为-3/2就在-2和-1的中点上），对于减区间的两个端点都需要限制
把-1和-3/2代入导函数，并令其大于0，解不等式
把0和-1/2代入导函数，并令其小于0，解不等式
综合一下就是答案了，实在手懒，你自己解解这俩不等式就行啦

Answer 4

或者数形结合，利用抛物线来考虑，分两种情况：开口向上，开口向下