Question

已知函数f（x）＝[2sin（x－兀/3）＋3sinx]×cosx＋√3sinx∧2（x∈R）

求函数f（x）在[0，兀/2]上的最大值和最小值，（2）在锐角△ABC中，f（A）=√3,a=√7，求三角形ABC的面积。急用谢谢啦^O^

Answer 1

f（x）＝[2sin（x－兀/3）＋3sinx]×cosx＋√3sinx∧2
=[sinx-√3cosx+3sinx]]cosx+√3sin²x
=4sinccosx-√3cos²x+√3cos²x
=2sin2x
∵x∈[0，兀/2]
∴2x∈[0,π]
∴2x=π/2,即x=π/4时，f(x)取得最大值2
2x=0或π，即x=0或x=π/2时，f(x)取得最小值0
2
f(A)=2sin2A=√3
∴sin2A=√3/2
∴2A=2π/3或π/3
∴A=π/3或A=π/6
∵a=√7
∴a²=b²+c²-2bccosA
∴7+2bccosA=b²+c²≥2bc
A=π/3时，7+bc=b²+c²≥2bc，bc≤7
SΔ=1/2bcsinA≤7√3/4
三角形ABC的面积最大值为7√3/4

A=π/6时，7+√3bc≥bc bc没有最答值面积没有最大值

Answer 2

f=[2*sin(x-π/3)+3sinx]cosx+√3 sin²x

=[2sinxcos(π/3)-2cosxsin(π/3)+3sin(x)]cosx+√3 sin²x
=[sinx-√3cosx+3sinx]cosx+√3 sin²x
=-√3(cos²x-sin²x)+4sinxcosx
=-√3cos2x+2sin2x
=√7[sin2xcos(φ)-cox2xsin(φ)]
=√7sin(2x-φ) 其中φ=arcsin(√3/√7)
0≤x≤π/2 -φ≤2x-φ≤π-φ -√3=√7sin(--φ)≤f(x)≤√7sin(π/2)=√7
f（x）在[0，π]上的最大值为√7，和最小值-√3

f(A)=√3 sin(2A-φ) =√3/√7=sin(φ)
所以2A-φ=φ 或 2A-φ=π-φ
解得A=φ 或 A=π/2 ,因A为锐角，所以A=φ=arcsin(√3/√7) sinA=sinφ=√3/√7
a=√7 b=(a/sinA)sinB=7sinB/√3 c=(a/sinA)sinC=7sinC/√3
三角形ABC的面积=(1/2)bcsinA=(49/3)sinBsinC (√3/√7)
似乎少个条件，无法确定b和c的边长