Question

⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D。求证△ABC∽△BDC

若AC=8，BC=6，求三角形BDC的面积

Answer 1

分析：（1）由AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠BCD=90°，又由BD是⊙O的切线，根据同角的余角相等，可得∠A=∠CBD，利用有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ABC∽△BDC；
（2）由AC=8，BC=6，可求得△ABC的面积，又由△ABC∽△BDC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面积．
解：（1）证明：∵BD是⊙O的切线，
∴AB⊥BD，
∴∠ABD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠BCD=90°，
∴∠A+∠D=90°，∠CBD+∠D=90°，
∴∠A=∠CBD，
∴△ABC∽△BDC；
（2）解：∵△ABC∽△BDC，
∴S△ABCS／△BDC=(AC/BC)²，
∵AC=8，BC=6，
∴S△ABC=12AC•BC=12×8×6=24，
∴S△BDC=S△ABC／(ACBC)²=24／（86﹚²=272．

Answer 2

(1)
根据已知条件得
△ABC为RT△，∠C=90
RT△ABC与RT△ABD共用∠A
RT△ABC∽RT△ABD
同理可求
RT△BDC∽RT△ABD

RT△BDC∽RT△ABC

(2)
AC=8，BC=6
根据勾股定理得，AB=10
RT△ABC∽RT△ABD
AC:BD=BC:AB
8:BD=6:10
BD=40/3

S△ABD=1/2ABxBD=1/2x10x40/3=200/3
S△ABC=1/2ACxBC=1/2x8x6=24
S△BCD=S△ABD-△ABC=200/3-24=128/3

Answer 3

⊙O是△ABC的外接圆，圆心O在AB上,则∠ACB=90°；
过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D，则DB⊥AB于B,∠ABD=90°;
∠A=∠DBC,[同弧圆周角=弦切角]
RT△ABC∽RT△BDC,[AAA]

AC=8，BC=6，AB²=AC²+BC²=8²+6²=10²
AB=10
AB:BD=AC:BC
BD=AB*BC/AC=10*6/8=15/2;
RT三角形BDC的面积=RT三角形ABD的面积-RT三角形ACB的面积
=AB*BD/2-AC*BC/2
=10*15/2*1/2-8*6/2
=27/2

Answer 4

因圆心O在AB上，所以∠ACB=90°。
因BD是圆的切线，所以∠ABD=90°，
因为∠BCD+∠CBD=90°
∠ABC=∠BDC
所以△ABC∽△BDC

由△ABC∽△BDC得，AC/BC=BC/CD
得8/6=6/CD
CD=9/2
S=（6×9/2）/2=27/2=13.5