求帮解决一下这道概率统计题第10题的第2问 10
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由于X，Y独立同分布，故利用对称性知 X^2/ [ X^2 +Y ^2 ] 与 Y^2/ [ X^2 +Y ^2 ] 也同分布 。从而，E{ X^2/ [ X^2 +Y ^2 ] } = E{ Y^2/ [ X^2 +Y ^2 ]}。
两者的期望之和：
E{ X^2/ [ X^2 +Y ^2 ] } +E{ Y^2/ [ X^2 +Y ^2 ]}
=E（{ X^2/ [ X^2 +Y ^2 ] } +{ Y^2/ [ X^2 +Y ^2 ]}）
=E{（ X^2 +Y ^2 ）/（ X^2 +Y ^2 ）}
=E{ 1 }
= 1
所以 E{ X^2/ [ X^2 +Y ^2 ] } = E{ Y^2/ [ X^2 +Y ^2 ]}= 1/2
两者的期望之和：
E{ X^2/ [ X^2 +Y ^2 ] } +E{ Y^2/ [ X^2 +Y ^2 ]}
=E（{ X^2/ [ X^2 +Y ^2 ] } +{ Y^2/ [ X^2 +Y ^2 ]}）
=E{（ X^2 +Y ^2 ）/（ X^2 +Y ^2 ）}
=E{ 1 }
= 1
所以 E{ X^2/ [ X^2 +Y ^2 ] } = E{ Y^2/ [ X^2 +Y ^2 ]}= 1/2
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