Question

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．这道题不用空间向量就用必修二立体几何怎么解？

Answer 1

(1)由直三棱柱的性质可知,CC1⊥面ABC

∴CC1⊥BC
∵∠BCA=90°,即AC⊥BC
∴BC⊥面AA1C1C
∴BC⊥AE
取A1C1中点M,连接FM,那麼FM∥B1C1∥BC
∴FM⊥面AA1C1C
连接CM,则CM是CF在面AA1C1C上的射影
易证△CC1M≌△ACE,由全等的性质可知CM⊥AE
∴CF⊥AE
∴AE⊥面BCF
(2)易证AF=CF=√6,AC=2
取AC中点N,连接FN,则FN⊥AC,勾股定理得FN=√5

S△ACF=1/2*FN*AC=√5
作AH⊥CF于H,则AH=2S△ACF/CF=√30/3
连接BH,易证△AFH≌△BFH,∴BH⊥CF,BH=AH=√30/3
则∠AHB是二面角的平面角
馀弦定理得cos∠AHB=-1/5