已知中心在原点O,焦点在x轴上的椭圆C离心率为根号3/2,

点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点。点O到直线AB的距离为五分之六倍根号五。(1)求椭圆C的标准方程(2)已知点E(3,0),设点P,点Q是椭圆C上的两个动点。满足E... 点A,B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点。点O到直线AB的距离为五分之六倍根号五。(1)求椭圆C的标准方程(2)已知点E(3,0),设点P,点Q是椭圆C上的两个动点。满足EP⊥EQ,求EP向量·QP向量的取值范围。 展开
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AB的方程是x/a+y/b=1

即有bx+ay-ab=0
d=|-ab|/根号(a^2+b^2)=6根号5/5
平方得:a^2b^2/(a^2+b^2)=36/5
e=c/a=根号3/2,c^2/a^2=3/4,(a^2-b^2)/a^2=3/4
即有3a^2=4a^2-4b^2,a^2=4b^2
与上面解得:a^2=36,b^2=9.
故椭圆方程是x^2/36+y^2/9=1
(2)EP*QP=EP*(QE+EP)=EP ·EQ+EP^2=EP²,则取得最小值时EP的长最小,
设P(6cosθ,3sinθ)(参数方程)
则EP²=(6cosθ-3)²+(3sinθ-0)²=27cos²θ-36cosθ+18=27(cos θ
-2/3)^2+6,看作一个二次函数,则cosθ=36/(2*27)=2/3时
取得最小(能取到),得EP*QP=EP²=27*4/9-36*2/3+18=6
当cos θ=-1时,取得最大是81
所以,范围是[6,81]
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2024-10-13 广告
是的。传统上,对于符合要求的内毒素检测,最终用户必须从标准内毒素库存瓶中构建至少一式两份三点标准曲线;必须有重复的阴性控制;每个样品和PPC必须一式两份。有了Sievers Eclipse内毒素检测仪,这些步骤可以通过使用预嵌入的内毒素标准... 点击进入详情页
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(1)令椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0),则A(a,0),B(0,b)
由截距式知直线AB:x/a+y/b=1,即x/a+y/b-1=0
由点到直线距离公式有点O到AB的距离为:
|0+0-1|/√(1/a^2+1/b^2)=6√5/5
即1/a^2+1/b^2=5/36(I)
而e=c/a=√3/2(II)
又a^2=b^2+c^2(III)
由(I)(II)(III)得a=6,b=3,c=3√3
所以椭圆C:x^2/36+y^2/9=1

(2)令P(x1,y1),Q(x2,y2)
则向量EP=(x1-3,y1),向量EQ=(x2-3,y2),向量QP=(x1-x2,y1-y2)
因EP⊥EQ,则向量EP·向量EQ=0,即有:
(x1-3)(x2-3)+y1y2=0(I)
由向量积有向量EP·向量QP=(x1-3)(x1-x2)+y1(y1-y2)
=(x1-3)[(x1-3)-(x2-3)]+y1^2-y1y2
=(x1-3)^2-[(x1-3)(x2-3)+y1y2]+y1^2
=(x1-3)^2+y1^2(结合(I))
又P在椭圆C上,则有x1^2/36+y1^2/9=1,即有y1^2=9-x1^2/4
所以向量EP·向量QP=(x1-3)^2+9-x1^2/4=3/4(x1-4)^2+6
因-6≤x1≤6
则(向量EP·向量QP)min=6(x1=4时取得)
(向量EP·向量QP)max=81(x1=-6时取得)

综上,向量EP·向量QP取值范围为[6,81]
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