Question

设方阵A满足A^2-A-2E=0 证明A及A+2E都可逆

Answer 1

A^2-A-2E=0推出A^2-A=2E，所以A(A-E)=2E，从而A的逆矩阵为1/2(A-E).

A^2-A-2E=0推出A^2-A-6E=-4E，所以(A+2E)(A-3E)=-4E，从而A+2E的逆矩阵为-1/4(A-3E).

可以如图改写已知的等式凑出逆矩阵。

扩展资料

性质定理

1.可逆矩阵一定是方阵。

2.如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3.A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4.可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5.若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6.两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7.矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

Answer 2

由A^2-A-2E=0知A^2-A=2E
所以A*(A-E)/2=E
所以A可逆，逆为(A-E)/2

由A^2-A-2E=0知A^2=A+2E
由A可逆知A^2可逆
所以A+2E可逆，逆为[(A-E)/2]^2=(A-E)^2/4

追问

A+2E的逆怎么错了？

Answer 3

A^2-A-2E=0

A^2-A=2E
A(A-E)=2E
所以A/2与(A-E)互逆

同理
A^2-A-2E=0

A^2-A-6E=-4E

(A-3E)(A+2E)=-4E
看出来互逆了吧？

追问

恩谢谢 我就不知道我这么做怎么错了 比如求A的逆 ：A^2-E=A+E
(A+E)(A-E)=A+E
I/2A=E

追答

你这当然是错误的，因为等号右边不是E

追问

是E啊 怎么不是了

追答

矩阵不满足消去律
所以右边必须是E