Question

求微分方程的特解：y''+(y')^2=1 当x=0时，y=y'=0

rt. 求微分方程的特解：y''+(y')^2=1 当x=0时，y=y'=0

Answer 1

令p=y'，得p*dp/dy＋p^2=1
对应齐次方程为p*dp/dy=-p^2
dp/p=-dy
ln|p|=-y＋ln|C|
得p=Ce^(-y)
用常数变易法，得p=ue^(-y)
代入p*dp/dy＋p^2=1，解得udu/dy=e^(2y)
即u^2/2=1/2*e^(2y)＋C'/2
u=√(e^(2y)＋C1)
即p=e^(-y)√(e^2y＋C1)
又y=p=0，得C1=-1
dy/dx=√(1-e^(-2y)
所以dy/√(1-e^(-2y))=dx
-ln[(1-√(1-e^(-2y))/e^(-y)]=x-ln|C2|
代入x=y=0，得ln|C2|=0
所以(1-√(1-e^(-2y))/e^(-y)=e^(-x)
故所求微分方程特解为1-e^(-x)e^(-y)=√(1-e^(-2y))

Answer 2

令p=y'，得p*dp/dy＋p^2=1
p*dp/(1-p^2)=dy
(-1/2)ln|1-p^2|=y+C1 1-p^2=Ce^(-2y)
由x=0时，y=y'=0得：C=1
p^2=1-e^(-2y)
p=±√(1-e^(-2y)
dy/√(1-e^(-2y)=±dx
积分得：-ln[(1-√(1-e^(-2y))/e^(-y)]=±x+C1
由x=0时，y=0，得：C=0
特解为：ln[(1-√(1-e^(-2y))/e^(-y)]=±x

Answer 3

应该没有实数解，用matlab计算为：
dsolve('D2y + Dy^2=1', 'y(0) = 0, Dy(0) = 0')

ans =

log(-1+exp(2*t+i*pi))-1/2*log(exp(2*t+i*pi))-log(-2)+1/2*i*pi

Answer 4

x=ln{exp(y)+-[exp(2y)-1]^(1/2)}