Question

大一数学证明题

1.arcsinx+arccosx=π/2，-1≦x≦1

2.x的5次方+x-1=0只有一个正根

3.|arctanx-arctany|≦|x-y|

Answer 1

1
f(x)=arcsinx+arccosx在[-1,1]连续，在(-1,1)可导，由拉格朗日中值定理 一定在[-1,1]中找到一个c点 使得 f(c)=[f(1)-f(-1)]/(1-(-1)) 又这个式子可以计算得π/2
该定理的推论是：如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，则f(x)在区间I上是一个常数
(arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2
所以f'(x)=0 得证
2
g(x)=x^5+x-1
则g′x)=5x^4+1＞0
g(x)=x^5+x-1在R上是单调增函数。
又当g(0)=-1
g(1)=1^5+1-1=1
则必定有一正根带（0，1）之间
又g(x)=x^5+x-1在R上是单调增函数
g(x)=0必定只有一解
于是方程x^5+x-1=0只有一个正根
3
arctanx在实数范围内上连续且可导。
那么在内至少有一值c，使以下等式成立(拉格朗日中值定理)
arctanx-arctany=(arctan'c)(x-y)
arctanx-arctany=(1/(1+c²))(x-y)
(arctanx-arctany)/(x-y)=1/(1+c²)
又∵0<1/(1+c²)≤1 (c∈R)
∴0<(arctanx-arctany)/(x-y)≤1
∴|(arctanx-arctany)/(x+y)|<=1
|arctanx-arctany|<=|x-y|

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