Question

证明函数f（x）=x^3+2x^2-4x-1 在（负无穷大---正无穷大）上的至少有三个零点，不用求导的方法，用极限

Answer 1

解：
f(x)=x^3+2x^2-4x-1
首先，f(x)是连续函数（证明从略）。
lim【x→-∞】f(x)=-∞＜0…………………………(1)
f(-1)=(-1)^3+2×(-1)^2-4×(-1)-1=4＞0…………(2)
观察(1)和(2)，表明：
在x∈(-∞，-1]上，f(x)至少存在一个0点；
f(0)=(0)^3+2×(0)^2-4×(0)-1=-1＜0……………(3)
观察(2)和(3)，表明：
在x∈[-1，0]上，f(x)至少存在一个0点；
lim【x→∞】f(x)=∞＞0…………………………(4)
观察(3)和(4)，表明：
在x∈[0，∞)上，f(x)至少存在一个0点。
综上所述：f(x)在x∈(-∞，∞)上，至少存在三个0点。

Answer 2

x趋于-∞时，f(x)=x³(1+2/x -4/x²- 1/x³）=x³= -∞
又f(-1)=4>0 因此在（-∞，0）至少有一个零点
f(1)=-3<0 因此在（-1，1）也至少有一个零点
x趋于+∞时，f(x)=x³(1+2/x -4/x²- 1/x³）=x³=+∞
因此在（1，+∞）也至少有一个零点
综上，在（ -∞，+∞ ） 至少有三个零点

Answer 3

limx->-∞ f(x)->-∞<0
f(-2)=-8+8+8-1=7>0
f(0)=-1<0
limx->+∞ f(x)->+∞>0
明显该函数连续，所以至少有三个不同零点

追问

中间的-2，，0，，你是试的吗

追答

f(x)=(x+2)x²-4x-1
当x0
只需x+2≥0则f(x)>0
∴[-2，-0.25）区间取就可以了

一般这种题，就取0,±1，±2，±10之类的好求值的点