Question

高中数学题 12

四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其他四个侧面都是侧棱长为“根号5”的等腰三角形，则侧二面角V-AB-C的平面角为---------？
（请把过程列出，希望有好心人能把二面角解释一下，最好结合图形，十分感谢）

Answer 1

三棱锥高＝平方根（侧棱长平方－底面对角线之半的平方）=√[(√5)^2-(√2)^2]=√3；

二面角V-AB-C的正切＝锥高/底面中心到AB边距离=1/√3＝√3/3，该二面角为60°；

 

二面角——两个平面的夹角。本题中，一个面是VAB三点构成，另一个是由CAB三点构成，两个平面的交线是AB。求二面角平角应注意取垂直于两平面的交线的直线间角，参考下图示意红线。

Answer 2

作VH⊥底面ABCD，交于底面ABCD于H，在平面VAB作VE⊥AB，交AB于E，连结EH，根据三垂线定理，EH⊥AB，故<HEV是二面角V-AB-C的平面角，三角形VAB是等腰三角形，AE=BE=AB/2=1，根据勾股定理，VE=√（VB^2-BE^2)=2,cos<HEV=HE/VE=1/2,<HEV=60°，二面角V-AB-C的大小为60度。

Answer 3

二面角即为两个相交平面的夹角 ，需要做两条分别在两个平面的直线垂直于两个平面的相交线与痛一点，形成的角就是二面角。
解：做直线VE垂直于AB ，EF平行于BC ，则∠VEF为二面角V-AB-C的平面角，
有条件得BE=1 VE=2 EF=2 由于侧面均为等腰三角形，底面为正方形，则V的射影为正方形ABCD的中心，设V的投影为G 则VG⊥EF EG=1 VE=2 则∠VEF=60°
所以侧二面角V-AB-C的平面角为60°