Question

高数积分求面积问题！

求直线与曲线所围成的图形面积，用了两种方法，第一种方法后面的极限怎么求？（a趋于0），y=xlnx这个函数图象，不是应该 有最小值么？用第二种方法的时候，是用三角形的面积减去y=xlnx与x轴、x=e所围图形面积，但是x轴下方不是还有一小块面积呢么？求解答

Answer 1

你第一道题列的式子不对
A、按照你的思路以dx为底，那么y=1与y=x形成的三角形被你忽略了，另外本题不存在极限问题，有明确的交点，直接列定积分即可，即面积应该是小△加定积分的和
0.5+∫（x-xlnx)dx 积分上限e下限1
B、本题建议以dy为底来求，这样直接列定积分求，
∫（xlnx-x)dy 上限e，下限0
C、你说的第二种方法，x轴下面的小面积是不需要考虑的，下面那块跟y=x没有形成闭合

Answer 2

注意到在0<=x<=1的时候,y=xlnx到y=0之间是不在所求范围内的
所以(2)中那小块面积不用求,(1)中应该用∫[0,1]xdx+∫[1,e] (x-xlnx) dx
=e^2/2 - ∫[1,e] lnxdx^2 /2
=e^2/2 - lnx * x^2 /2 |[1,e] + ∫[1,e]xdx/2
=∫[1,e]xdx/2 = (e^2-1)/4