Question

如图,已知二次函数y=2x-2的图像与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,直线x=m(m>1)与x轴交于点D

（1）求A，B，C的坐标
(2)在直线x=m(m＞1)上有一点p（点P在第一象限），使得P,D,B为顶点的三角形与以B,C,O为顶点的三角形相似，求P点的坐标（用m含的代数式表示）
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=2x平方-2上是否存在点Q，使得四边形ABQP为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值：如果不存在，请说明理由

Answer 1

分析：
（1）令二次函数解析式中x=0，可得出C点坐标，令y=0，可得出A、B的坐标．
（2）由于∠PDB=∠BOC=90°，因此本题可分两种情况进行讨论：
①当△PDB∽△COB时；②当△PDB∽△BOC时；可根据不同的相似三角形得出的不同的对应线段成比例来求出DP的长，即可表示出P点的坐标．
（3）若四边形ABPQ为平行四边形，那么Q点的坐标可有P点坐标向左平移AB个单位来得出，然后将Q点坐标代入抛物线的解析式中即可求得m的值

解答：
解：（1）令y=0得2x2-2=0
解得x=±1，
点A为（-1，0），点B为（1，0），

令x=0，得y=-2，

所以点C为（0，-2）．

（2）当△PDB∽△COB时，有
PD /OC =BD/OB ，

∵BD=m-1，OC=2，OB=1，
∴PD /2 =m-1 /1 ∴PD=2（m-1），

∴P1（m，2m-2）．
当△PDB∽△BOC时，

PD /OB=BD/OC ，

∵OB=1，BD=m-1，OC=2，
∴PD /1 =m-1 /2 ，
PD=m-1 / 2 ，
∴P2（m，m/1 - 1/2 ）．

（3）假设抛物线y=2x2-2上存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形，
∴PQ=AB=2，点Q的横坐标为m-2．
当点P1为（m，2m-2）时，
点Q1的坐标是（m-2，2m-2）（9分）
∵点Q1在抛物线y=2x2-2图象上，
∴2m-2=2（m-2）2-2，m-1=m2-4m+4-1，
m2-5m+4=0，m1=1（舍去），m2=4．
当点P2为（m，m /2 -1/2 ）时，
点Q2的坐标是（m-2，m/2 - 1/2 ），
∵Q2在抛物线y=2x2-2图象上，
∴m/2 -1/2 =2（m-2）2-2，m-1=4（m-2）2-4m-1，
=4m2-16m+16-44m2-17m+13=0（m-1）（4m-13）=0，
∴m3=1（舍去），m4=13 /4 ，
∴m的值为4、13 /4 .