Question

一道初三的数学几何 急啊~~~

如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，DO⊥BC于点O。AB=BC=4，AD=2，P是线段AB上的动点，DP⊥PQ交BC于Q，R为PD的中点。设AP=x，BQ=y。若以R,P,Q为顶点的三角形与△DOC相似，求此时点P的位置。
前面已经求出来△DAP∽△PBQ，y=-1/2x²+2x

麻烦看下面这种做法哪里错了？
∵△DAP∽△PBQ
∴DP/PQ=AP/BQ
∵AP=x,BQ=y，y=1/2x²+2x
∴DP/PQ=x/（1/2x²+2x）=1/（1/2x+2）
∵R为PD的中点
∴2PR=DP
∴2PR/PQ=1/（1/2x+2）
∴PR/PQ=1/(x+4)
∵DO=AB=4，BC=4，BO=AD=2
∴CO=BC-BD=2
①当△DOC∽△RPQ时
则DO/OC=PR/PQ
∴4/2=1/(x+4)
∴x=-3.5(舍去）
②当△DOC∽△QPR时
则OC/OD=PR/PQ
∴2/4=1/(x+4)
∴x=-2（舍去）
综上所述，以R,P,Q为顶点的三角形与△DOC无法相似

Answer 1

提示：
四边形ABOD是矩形，AD=BO=2，AB=DO=4；△CDO中，∠COD=90°，OC=BC-BO=4-2=2，DO=2，DC＝√﹙DO²＋OC²﹚＝√﹙4²＋2²﹚＝2√5;
由⊿ADP∽⊿BPQ(∠A＝∠B＝90°，∠APD＝90°－∠BPQ＝∠BQP﹚得AD／BP＝AP／BQ＝DP／PQ即2／﹙4－x﹚＝x／y＝PD／PQ也就是y＝﹣1/2x²＋2x；PR／PQ＝½PD／PQ＝½AD／BP＝1/﹙4－x﹚;
若以R,P,Q为顶点的三角形与△DOC相似，因为∠RPQ＝∠COD＝90°，所以有以下两种可能：①⊿PQR∽⊿OCD②⊿PQR∽⊿ODC；∴PR/PQ＝OC/OD﹙或＝OD/OC﹚＝1/2﹙或2﹚即1/﹙4－x﹚∴AP＝x＝2或7/2。

批阅：
⑴由△DAP∽△PBQ得y=1/2x²+2x错误；更正：y＝﹣1/2x²＋2x（见上）

⑵由△DAP∽△PBQ得DP/PQ=AP/BQ→DP/PQ=x/y=1/（1/2x+2）→PR/PQ=1/(x+4),由于前面的错误“y=1/2x²+2x”带来的错误和过程复杂；其实由△DAP∽△PBQ得DP/PQ=AD/BP=2/﹙4－X﹚→PR/PQ＝½DP/PQ＝1/﹙4－X﹚

Answer 2

∵∠A=∠B=90°,DO⊥BC,BC=4，AD=2
∴OC=BC-OB=BC-AD=4-2=2; OD=AB=4
∵△RPQ与△DOC相似
∴RP：PQ=OD：OC=4：2=2
∴RP=2PQ
∵R为PD的中点
∴DP=2RP
∴DP=4PQ－－－（1）
在△ADP中，
AD＝2，AP＝X，
DP2=AD2＋AP2=4＋X2
在△PBQ中，
BP＝4－X，BQ＝Y，
PQ2=BP2＋BQ2=（4－X）2＋Y2
DP2=由（1）式得：DP2=16PQ2
即4＋X2=16（4－X）2＋16Y2
整理得15X2-128X+252+16Y2=0
解X1=64/15-2*√(79-60Y2)/15
X2=64/15+2*√(79-60Y2)/15(舍去)
所以，在X=64/15-2*√(79-60Y2)/15时，以R,P,Q为顶点的三角形与△DOC相似

追问

但是三角形相似这里是用文字说的 不应该分类讨论一下那个点对应哪个点吗？你的这种做法是不是上讨论了一种可能啊？

追答

你说的对，还需讨论另一种情况，即RP=1/2PQ，DP=PQ，即4＋X2=（4－X）2＋Y2
，X=3/2+Y2/8
注：你的补充说明中“前面已经求出来△DAP∽△PBQ，y=1/2x²+2x”
式子“y=1/2x²+2x”应该为“y=2x-1/2x²”

追问

额(⊙o⊙)… 所以你的答案是X=64/15-2*√(79-60Y2)/15或X=3/2+Y2/8喽 为什么感觉怪怪的。。。
他问的是点P的位置啊，X=巴拉巴拉Y，有点奇怪诶。。。

还有上面的做法哪里错了啊？

追答

根据：△DAP∽△PBQ
得出：DP：PQ=AD：BP=2：（4-X）——1
根据：以R,P,Q为顶点的三角形与△DOC相似，得出2中相似情况：
（1）：△RPQ∽△DOC时
可以得出：RP：PQ=2:1
∵DP=2RP
∴DP：PQ=4:1——2
将2式代入1式得：2：（4-X）=4:1
解得：X=7/2
（2）：△QPR∽△DOC时
得出DP：PQ=1:1
2：（4-X）=1：1
X=2
你的问题出在：式子“y=1/2x²+2x”应该为“y=2x-1/2x²”