Question

初三一道数学几何。求人解答。

如图，三角形ABC内接于园O，且AB=AC，点D在圆上，AD垂直于AB点A，AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE，求证BF切圆O

Answer 1

第一：如果要证明相切，只需证明OB垂直BF即可
第二：AB垂直AD，并且A、B、D均在圆上，所以,B、O、D必在一条直线上，此外，∠F+∠ABF=90°
第三：又因为AE=AF，所以∠F=∠BEF
第四：又因为∠BEF=∠D+∠DBC，且∠D=∠C
第五：又因为AB=AC，所以∠C=∠CBA
第六：因为第三、第四、第五条，所以∠F=∠CBA+∠DBC
第七：因为第二、第六条，所以∠ABF+∠CBA+∠DBC=90°
综上所述，OB⊥BF，所以相切

Answer 2

连结BD
∵AB⊥AD
∴BD是圆的直径
∵AB⊥AD，AF＝AE
∴AB垂直平分EF
∴BF＝BE
∴∠F＝∠BEF＝∠D＋∠DBE
＝∠C＋∠DBE＝∠ABE＋∠DBE＝∠ABD
∴∠DBF＝∠ABD＋∠ABF＝∠F＋∠ABF＝90°
∴BF是圆的切线

Answer 3

连结BD,由于∠BAD=90°，因此，BD是圆O的直径. 由AB=AC 得∠ABC=∠C ,AB是EF的中垂线，则∠ABC=∠ABF 因为∠C=∠D ,所以∠ABF=∠D 又因为∠F=∠F
所以△ABF相似于△BDF 得∠DBF=∠BAF=90° 故BF切圆O于点B.
永安中学 LIUZUOJIN

Answer 4

连接BD,在进行求证。