Question

如图，已知△ABC中，以边BC为直径的圆O与边AB交于点D，点E为玄BD的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC

以求到AC位圆O的切线 若AC=3，BC=4，求EC的长

Answer 1

　　证明：（1）如图，连接BE，

∵AF是∠BAC的角平分线，AF⊥EC，

∴∠ACH=∠AHC．

∵∠BHE=∠AHC，

∴∠ACH=∠BHE．

∵E是弧BD的中点，

∴∠EBD=∠BCE．

∵BC是⊙O的直径，

∴∠BEC=90°．（ 3分）

∴∠EBH+∠BHE=90°．

∴∠BCE+∠ACE=90°．

∴AC是⊙O的切线．（4分）

解：（2）在Rt△ABC中，

∵AC=3，BC=4，

∴AB=5．

又∵∠ACH=∠AHC，

∴AH=AC=3．

∴BH=AB-AH=5-3=2．（6分）

∵∠EBH=∠ECB，

∴△EBH∽△ECB．

∴EB/EC=HB/BC=1/2

在Rt△EBC中，

∵EC=2EB，BC=4，

∵EC^2+EB^2=BC^2

∴EC=8√5/5