Question

数学值域怎么求？

Answer 1

求函数值域关键是要掌握常用的几种方法,
然后才能触类旁通。

1. 用反函数法
适用类型:分子.分母只含有一次项的函数(即有理分式一次型),也可用于其它易反解出自变量的函数类型.
（由反函数的定义域来确定原函数的值域）

解： 易知原函数定义域为：

易求得原函数的反函数表达式为： x = （3y+5）/(5y-3)
由x>-1且 x≠3/5
可得以下不等式组：
（3y+5）/(5y-3) > -1
（3y+5）/(5y-3) ≠3/5
解得
y>3/5 , 或 y< -1/4
所以
原函数值域为 y∈(-∞,-1/4)U(3/5,+∞)

2.用数形结合
y = |x+5|+|x-6|
上式可以看成是数轴上点P(x) 到定点A(-5)， B（6）之间的距离之和。
由图易知，当点P在线段AB上时
y = |x+5|+|x-6| =|AB| = 11
当点P在AB的延长线或反向延长线上时，
y = |x+5|+|x-6| > |AB| = 11

故所求函数值域为 y∈[11,+∞)

3.用直接观察与数形结合（和换元）

令 t = -x^2 +x+2

则 t = -(x-1/2)^2 +9/4 且 t≥0
画出函数t(x)的图形，根据抛物线的性质有
0≤t≤9/4
因 y = 4-√t 为单调函数
则原函数值域为 y∈[5/2, 4]

4. 用换元法
令 t =√(1-2x) ≥0 , 则 x = 1/2 -1/2t^2
原函数转化为

y = 1/2 -1/2t^2 + t = -1/2(t-1)^2 +1
由图形易知
y≤1
故函数值域为｛y|y≤1｝.