Question

设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)²+(y-1)²=1相切,则m+n的取值范围是

Answer 1

解：
由圆的标准方程(x－1)^2＋(y－1)^2＝1
得圆心(1，1)，半径r＝1
∵直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)^2＋(y－1)^2＝1相切
∴圆心到直线的距离d＝|m＋1＋n＋1－2|/√[(m＋1)²＋(n＋1)²] ＝r＝1．
整理得m＋n＋1＝mn≤[(m＋n)/2]²
令m＋n＝t，则有t＋1≤ t²/4
即t²－4t－4≥ 0
解得t≥ 2＋2√2或t ≤2－2√2
∴m＋n的取值范围是(－∞，2－2√2]∪[2＋2√2，＋∞).