Question

微分方程的特解问题

y''+y=sinx
会求齐次方程的通解但是特解理解不了，求高手

Answer 1

对应齐次微分方程的特征方程：λ^2+1=0 特征根：±i 通解：y=C1cosx+C2sinx
f(x)=sinx 属于f(x)=e^(λx)[P1(x)cosωx+P2(x)sinωx]型，
λ=0，ω=1，P1(x)=0，P2(x)=1,λ+iω=i是特征根。
所以设特解为：y*=a1xcosx+a2xsinx
y*'=a1cosx+a2sinx-a1xsinx+a2xcosx
y*''=-2a1sinx+2a2cosx-a1xcosx-a2xsinx
y*''+y*=-2a1sinx+2a2xcosx=sinx
∴a2=0 a1=-1/2 y*=-(1/2)xcosx
通解：y=C1cosx+C2sinx-(1/2)xcosx

追问

懂了那要是求这种方程φ'(y)=5φ(y)，齐次方程的λ是0，设齐次通解y=c1 c2x(这里的齐次通解也不确定对不对)，那个非齐次是属于哪一种类型啊？是n次多项式类型吗？那么0是特征方程的单根还是重根呢？

追答

分离变量即可

追问

还是不太明白，这个是03年数二的第九大题，答案直接给出了，没有求解过程

追答

这是一阶的，左边是对y求导，右边是y的函数，直接分离变量：
dφ(y)]/φ(y)=5dy
ln|φ(y)|=5y+lnC
φ(y)=Ce^(5y)

Answer 2

特解可以用常数变异法求得，这是有公式套的。