Question

已知函数f(x)=1/2ax^2-2x+2+lnx,a∈R，若f(x)在（1，+∞）上只有一个极值点，求实数a的取值范围

Answer 1

易知f'(x)=ax-2+1/x，令g(x)=1/x，h(x)=2-ax
要使f(x)在（1，+∞）上只有一个极值点
也就是要使方程f'(x)=0在（1，+∞）上只有一个解
也就是要使函数f'(x)在（1，+∞）上只有一个零点
也就是要使函数g(x)与h(x)在（1，+∞）上只有一个交点

显然g(x)是反比例函数（双曲线）
h(x)是一次函数（直线），且过定点(0,2)
最好分别作出两个函数的草图

先看看h(x)与g(x)相切的情形：
令h(x)=g(x)，即ax-2+1/x=0，即ax^2-2x+1=0
若a=0，则x=1/2，表明唯一交点不在（1，+∞）上
则a≠0，于是令⊿=4-4a=0，即a=1
此时方程h(x)=g(x)的解为x=1
所以当a=1时，直线h(x)=2-x正好与双曲线g(x)=1/x相切于x=1处

注意到直线的斜率k=-a，由于直线过定点，则：
当k=-1，即a=1时，直线与双曲线相切于x=1
当k<-1，即a>1时，直线离开双曲线，无交点
当-1<k<0，即0<a<1时，直线与双曲线产生两个交点，其中一个必在（1，+∞）上
当k≥0，即a≤0时，直线与双曲线只有一个交点，但它不在（1，+∞）上

综上f(x)在（1，+∞）上只有一个极值点的a的取值范围为0<a<1

Answer 2

对f（x）求导得f'(x)=ax-2+1/x,令f'(x)=0有：
ax^2-2x+1=0,
（1）由f(x)在（1，+∞）上只有一个极值点可知，f‘（x）=0至少有一个解。
即△x>=0,解得a<=1,
(2)又设f‘（x）=0的两个解为x1,x2.由题知：x1<=1,x2>1；故x1-1<=0,x2-1>0,
即(x1-1)(x2-1)<=0即x1x2-(x1+x2)+1<=0,即1/a-2/a+1<=0,解得0<a<=1
综上所述，0<a<=1