Question

在三角形ABC中，∠C＝90°,点P在三角形ABC所在平面外，PC＝17,P到AC、BC的距离PE=PF=13，则P到平面ABC的距

急啊

Answer 1

过P点作平面ABC的垂线，交平面ABC于点D

于是PE、PF在平面ABC上的射影分别是DE、DF

因为PE⊥AC，PF⊥BC
根据三垂线定理的逆定理，有DE⊥AC，DF⊥BC

因为△PDE和△PDF都是Rt△
所以PD²+DE²=PE²，PD²+DF²=PF²
因为PE=PF，所以DE=DF

连接CD

由DE⊥AC，DF⊥BC且DE=DF可知，CD是∠ACB的平分线

∠ACB=90°
即∠DCE=90°
又∠DEC=∠DEF=90°
同时，DE=DF
所以四边形CEDF是正方形

在Rt△PEC中，PE²+CE²=PC²
因为PE=13，PC=17，所以CE=2√30

在正方形CEDF中，DE=CE=2√30

在Rt△PED中，PD²+DE²=PE²
因为PE=13，DE=2√30，所以PD=7

即P到平面ABC的距离为7