Question

三道初三数学题啊= = 求解

1.如图所示，在直角坐标系中，已知直线Y＝3X—根号3与X轴、Y轴分别交于A、B两点，求直线与X轴夹角的正弦值。
（图见补充回答）
2.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝a，且Sina＝4比5，AB＝4，求AD的长。

3.如图。在边长为12米的正方形开阔地ABCD的边CD上的E点处有丰富的食物，且CD＝3ED，蚂蚁甲从B出发直达E处，与此同时蚂蚁乙从A出发，到达F处再沿PE到E处，若AF⊥BE与F，且两只蚂蚁速度相同。
（1）求sin∠BAF的值
（2）试问，那只蚂蚁先到E处享受免费的午餐？（图见补充回答）

Answer 1

　　1.如图所示，在直角坐标系中，已知直线Y＝3X—根号3与X轴、Y轴分别交于A、B两点，求直线与X轴夹角的正弦值。
　　（图见补充回答）
　　解：
　　在Y＝3X—√3中
　　令X=0，得Y=√3，从而得B点坐标为（0，√3），|OB|=√3;
　　同样
　　在Y＝3X—√3中
　　令Y=0，得X=√3/3，从而得A点坐标为（√3/3，0），|OA|=√3/3;
　　由对顶角相等得
　　直线与X轴夹角=∠ OAB.
　　在直角三角形OAB中：
　　|OA|=√3/3，|OB|=√3，
　　由勾股定理得
　　|AB|²=|OA|²+|OB|²=(√3/3)²+(√3)²
　　=10/3.
　　|AB|=√(10/3)=√30/3.

　　sin∠ OAB=|OA|/|AB|
　　=(√3/3)/(√30/3)
　　=√10/10.
　　∴ 直线与X轴夹角的正弦值为：√10/10。

　　2.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且Sinα＝4比5，AB＝4，求AD的长。
　　解：
　　由矩形ABCD得CD=AB=4.
　　由DE⊥AC于E，得
　　三角形CDE是直角三角形，
　　在直角三角形CDE中：
　　由设∠ADE＝α，
　　得∠CDE＝90°-α.
　　cos∠CDE＝cos(90°-α)
　　=sinα＝4/5.
　　得
　　DE=CDcos∠CDE
　　=4 sinα
　　=4x(4/5)
　　=16/5.

　　在直角三角形CDE中：
　　DE/AD=cosα.
　　由sinα＝4/5.
　　得cosα=3/5.
　　由DE=16/5.
　　有(16/5)/AD=3/5.
　　∴ AD=(16/5)/(3/5)
　　=16/3
　　=五又三分之一.

　　
　　3.如图。在边长为12米的正方形开阔地ABCD的边CD上的E点处有丰富的食物，且CD＝3ED，蚂蚁甲从B出发直达E处，与此同时蚂蚁乙从A出发，到达F处再沿PE到E处，若AF⊥BE与F，且两只蚂蚁速度相同。
　　（1）求sin∠BAF的值
　　（2）试问，那只蚂蚁先到E处享受免费的午餐？（图见补充回答）
　　解：由边长为12米的正方形，CD＝3ED.
　　得CD＝12，
　　ED=12/3=4,
　　CE=12-ED=8.
　　在直角三角形BCE中
　　由勾股定理得
　　|BE|²=|BC|²+|CE|²=(12)²+(8)²=208.
　　得|BE|=√208=4√13.

　　（1）由AF⊥BE与F，
　　CD⊥BC.
　　得∠BAF=∠CBE.
　　∴sin∠BAF=sin∠CBE
　　=CE/BE
　　=8/(4√13)
　　=2√13/13.

　　(2)在直角三角形ABF中，
　　由sin∠BAF=2√13/13.
　　AB=12.
　　得
　　BF=12sin∠BAF
　　=12(2√13/13)
　　=24√13/13.
　　AF=12cos∠BAF
　　=12√[1-(2√13/13)²]
　　=12x3√13/13
　　=26√13/13.
　　由24√13/13<26√13/13
　　即BF<AF.
　　得BF+FE<AF+FE.

　　当两只蚂蚁速度设为v（v>0）相同。
　　由BF+FE<AF+FE，
　　得(BF+FE)/v<(AF+FE)/v.
　　即蚂蚁甲从B出发直达E处的费时<蚂蚁乙从A出发，到达F处再沿PE到E处的费时,
　　∴ 蚂蚁甲先到E处享受免费的午餐.

Answer 2

1. 将x=0带入，得B（0，-√3)

   将y=0带入，得A（√3/3,0);  所以，OB=√3,O A=√3/3；BA=√（10/3)

   所以  sin∠OAB=√3/√（10/3）=（3√10）/10

Answer 3

（1）由y=3x-√3，
OB=-√3，OA=√3/3,
AB=√(3+1/3)=√10/3.
sin∠OAB=√3/√10/3=√10/10.
（2）DE=√（5²-4²）=3，
∴AB：AD：DE=4：5：3

（2）由∠ADE=∠BAC，
∴△ADE∽△CAB

即AD/AB=5：3
AD=20/3.
（3）①设正方形边长为4，
∴CE=3，DE=1

由∠BAF=∠EBC
∴sin∠BAF=sin∠EBC=EC/BC=3/5.

②由△ABF∽△BEC

∴AF/BC=AB/BE

AF/4=4/5（∵BE=√（4²+3²）=5）
AF=16/5
BF=12/5，EF=5-12/5=13/5
∴蚂蚁甲BE=5，

蚂蚁乙AF+EF=16/5+13/5=29/5＞5，
即蚂蚁甲先到。