Question

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区管委会又开发了风景优美的景点D

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区管委会又开发了风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向且距A 8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB=5km, AD＞BD．
（1）景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长．
（2）求∠DAB的正弦值

Answer 1

解：
（1）
由题，有：
∠ADB=30°
已知AB=5km,AD=8km，由余弦定理：
cos∠ADB=(BD^2+AD^2-AB^2)/(2*AD*BD)
解得：
BD1=4（根号三）±3 km
又 AD〉BD
所以 BD=4(根号三)-3 km

(2)
由正弦定理
sin∠ADB/AB=sin∠DAB/BD
有：
sin∠DAB=（sin∠ADB*BD）/AB
即 sin∠DAB=（4根号三-3）/10

原谅我的表达水平吧……

Answer 2

作DE⊥BC于E，AF⊥BD交DB的延长线于F．
（1）Rt△ADF中，∠ADF=300，AD=8，
∴AF=AD•sin∠ADF=4，DF=3 AD•cos∠ADF= 4√3．
又Rt△ABF中AB=5，∴BF=3 ∴DB= 4√3-3， sin∠ABF=AF/AB=4/5
∵∠DBE=∠ABF，∴sin∠DBE=4/5 ，又Rt△DBE中 ，sin∠ABF=DE/DB
∴DE=DB•sin∠DBE= 4/5（4√3-3）≈3.1（km）．
（2）由题意知∠CDB=75°，由（1）知 ，sin∠DBE=4/5=0.8
∴∠DBE=53°．∴∠DCB=180°-75°-53°=52°．
在Rt△DCE中，sin ∠DCE=DE/CD=0.8
∴ CD=DE/sin ∠DCE≈4（km）