Question

已知圆O:x^2+y^2=1和点M(4,2) (1)求以点M为圆心,且被直线y+2x-1截得的弦长为4的圆M的方程

设P为(1)中圆M上任意一点,过点P向圆O引切线,切点为Q,试探究:平面内是否一定存在点R,使得PQ/PR为定值?

Answer 1

首先，直线方程应是y=2x-1，它被截弦长等于4应是被圆M所截，因圆O直径仅为2；

从M向圆M作垂线，求得两者距离，圆M的半径与该距离及半弦长构成直角三角形：
点线距离：d^2=(y-2x+1)^2/(2^2+1)=(2^2-2*4+1)^2/5=9/5；
R^2=d^2+(4/2)^2=9/5+4=29/4；
圆M方程：(X-4)^2+(y-2)^2=29/4；
若P(x,y)是圆M上任一点，则点P到圆O的切线长（平方）为：x^2+y^2-1；
设若存在一点R(m,n)，使PQ/PR=1/√k为定值，则有如下关系式：(x-m)^2+(y-n)^2=k(x^2+y^2-1)；
展开：[(1-k)x^2-2mx+m^2]+[(1-k)y^2-2ny+n^2]+1=0；
化简：(1-k)*[x-(m/(1-k))]^2+(1-k)*[y-(n/(1-k))]^2=-m^2+m^2/(1-k)-n^2+n^2/(1-k)-1；
上式类似圆的坐标方程，若右端数值不小于0，则点R存在；
-m^2+m^2/(1-k)-n^2+n^2/(1-k)-1≧0
m^2+n^2≧(1-k)/k；
上式当1-k≧0时m、n有实数解，即只要PQ/PR≧1，平面内就存在点R(m,n)满足要求；