Question

如图，已知⊙O的直径AB=2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O

如图，已知⊙O的直径AB=2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D．（1）求证：△APC∽△COD；（2）设AP=x，OD=y，试用含x的代数式表示y；（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形．

Answer 1

(1) ∵DA=DC,∠DAO=∠DCO=90°,AO=CO .
∴△DAO≌△DCO.
∴∠DOA=∠DOC=1/2*∠AOC=∠DAC=∠P,
又PC是直径，
∴ ∠PAC=∠DCO=90°,
∴△APC∽△COD；
(2) 由(1)△APC∽△COD，得：OD/PC=OC/AP，
∴y=（0.5*AB/AP）*PC=（1/x）*2=2/x 。
（3）由DC^2=DO^2-OC^2，得：DC^2=(2/x)^2-1
由AC^2=PC^2-PA^2，得：AC^2=4-x ^2
当△ACD是一个等边三角形时，4-x ^2=(2/x)^2-1，解得：
x =1，（x =2， x =-1， x =-2不合题意，舍去）
∴当 x =1时，△ACD是一个等边三角形．

Answer 2

(1) ∵DA=DC,∠DAO=∠DCO=90°,AO=CO .
∴△DAO≌△DCO.
∴∠DOA=∠DOC=1/2*∠AOC=∠DAC=∠P,
又PC是直径，
∴ ∠PAC=∠DCO=90°,
∴△APC∽△COD；
(2) 由(1)△APC∽△COD，得：OD/PC=OC/AP，
∴y=（0.5*AB/AP）*PC=（1/x）*2=2/x 。
（3） 由DC^2=DO^2-OC^21,得：DC^2=(2/x)^2-1
由AC^2=PC^2-PA^2，得：AC^2=4-x ^2当△ACD是一个等边三角形时，4-x ^2=(2/x)^2-1，解得：
x =1，（x =2， x =-1， x =-2不合题意，舍去）
∴当 x =1时，△ACD是一个等边三角形．

Answer 3

解1 设AC与OD相交于E点
因为DA=DC,∠DAO=∠DCO=90°,AO=CO
所以△DAO≌△DCO
所以∠DOA=∠DOC=1/2*∠AOC AE=CE
又因为AO=AC
所以∠BAC=∠PCA=∠ADO=∠CDO ∠AEO=∠CED=90°
所以△COD∽△DOC
因为∠DAC+∠CAB=∠DCA+∠PCA=∠AOD+∠ADO
所以∠DAC=∠AOD=∠DOC=ACD
因为PC为直径
所以CO/CP=1/2
又因为CE/AC=1/2 共角∠ACP
所以△CEO∽△CAP
所以△ACP∽△COD且都为直角三角形

2 因为△ACP∽△COD
所以OD/PC=OC/AP
设AP=x，OD=y
y/PC=OC/x
因为2OC=AB=PC=2
所以OC=1
所以y=2/x
3 因为△ACP∽△COD且都为直角三角形
所以DC^2=DO^2-OC^2 DC^2=(2/x)^2-1
AC^2=PC^2-PA^2 AC^2=4-x ^2
如果△ACD为等边三角形
DC=AC
(2/x)^2-1=4-x^2
4/x^2-1=4-x^2
4-x^2=4x^2-x^4
x^4-5x^2+4=0
(x^2-4)(x^2-1)=0
(x+2)(x-2)(x+1)(x-1)=0
x=±2 ±1
因为x>0
所以x=2或1
当x=2时
AC=0 不成立
所以x只能等于1