Question

高等代数~欧式空间一问题 欢迎解答

设V为n维欧式空间，α1，α2，……，αn，α（n＋1） 是V中n＋1个非零向量.证明：V中存在非零向量α与α1，α2，……αn，α（n＋1）都不正交.

谢谢~

Answer 1

由于V为n维欧式空间，故α1，α2，...，α(n+1)这n+1个向量必然线性相关，最多有n个向量线性无关，设这n+1个向量中线性无关的向量其中数目最多一组为αi1,αi2,...αim (共m个，m <= n)，则令α 为这m个向量相加即可满足条件：
对于这m个向量，α*αik >= ||αik||^2 ≠ 0
对于这n+1个向量中其他向量αj,如果αj与这m个向量都正交，则αj无法被αi1，αi2,...αim线性表示，故αj与αi1,...αim线性无关，可以加入这m个向量中形成一个m+1个向量的线性无关向量组，与“数目最多一组为αi1,αi2,...αim ”矛盾。
故可知这样的α存在