Question

高二数学函数数列相关问题

已知二次函数f(x)=x^2-ax+a(a>0,a∈R),不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素，设数列{an}的前n项和为Sn=f(n)(n∈N*)
（1）求数列{an}的通项公式
（2）已知1^2+2^2+3^2+…+k^2=1/6k(k+1)(2k+1)，记bn=Sn+5n-4，{bn}的前n项和为Tn，求lim(Tn/n*Sn)的值
（3）设各项均不为0的数列{cn}中，所有满足cm*c(m+1)<0的正整数m的个数，称为这个数列{cn}的变号数，若cn=1-a/an(n∈N*)，求数列{cn}的变号数及相应的m的值

Answer 1

（1）不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素 ，就是说f(x)=x^2-ax+a=0 的点是最低点 ，△=0
舍去不和理解(a=0),得a=4
Sn=n^2-4n+4=(n-2)^2
1.当n=1时，a1=1
2.当n>=2时，an=Sn-S(n-1)=2n-5
(2) bn=Sn+5n-4=n^2-4n+4+5n-4=n^2+n
Tn=S1+S2+S3+...+Sn=1^2+2^2+3^2+…+n^2+1+2+3+...+n=(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(n+1)
(1/3)n(n+1)(n+2)
lim(Tn/n*Sn)=lim(1/3)n(n+1)(n+2)/(n(n-2)(n-2)) 当n趋于正无穷时 为1/3
(3)cn=1-a/an=1-4/an
1.当n=1时，a1=1,cn=-3
2.当n>=2时 an=Sn-S(n-1)=2n-5 cn=1-4/an=1-4/(2n-5) c2=5 所以1是变号数 m=1
cm*c(m+1)<0 (2m-9)(2m-7)/((2m-5)(2m-3))<0 得m=2,m=4
所以变号数为3,m=1,2,4

Answer 2

（1）不等式f(x)≤0的解集有且只有一个元素 ，就是说f(x)=x^2-ax+a=0 的点是最低点 ，△=0
舍去不和理解(a=0),得a=4
Sn=n^2-4n+4=(n-2)^2
1.当n=1时，a1=1
2.当n>=2时，an=Sn-S(n-1)=2n-5
(2) bn=Sn+5n-4=n^2-4n+4+5n-4=n^2+n
Tn=S1+S2+S3+...+Sn=1^2+2^2+3^2+…+n^2+1+2+3+...+n=(1/6)n(n+1)(2n+1)+(1/2)n(n+1)
(1/3)n(n+1)(n+2)
lim(Tn/n*Sn)=lim(1/3)n(n+1)(n+2)/(n(n-2)(n-2)) 当n趋于正无穷时 为1/3
(3)cn=1-a/an=1-4/an
1.当n=1时，a1=1,cn=-3
2.当n>=2时 an=Sn-S(n-1)=2n-5 cn=1-4/an=1-4/(2n-5) c2=5 所以1是变号数 m=1
cm*c(m+1)<0 (2m-9)(2m-7)/((2m-5)(2m-3))<0 得m=2,m=4
所以变号数为3,m=1,2,4
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