Question

已知函数f(x)={log2^x,x>0,3^x,x<=0,且关于x的方程

f(x)+x-a=0有且只有一
个实根，则实数a的范围是

Answer 1

由方程f(x)+x-a=0得f(x)=a-x
令g(x)=a-x（显然这是一个斜率为-1，y轴上截距为a的直线）
则方程f(x)+x-a=0有且只有一个实根等价于函数f(x)与g(x)有且只有一个交点

显然f(x)的图象分两部分：一部分是在y轴的右侧的弯曲向上的增函数y=log2(x)（x>0），一部分是在y轴左侧、x轴上方的弯曲向上、并止于(0,1)点的增函数y=3^x（x≤0）
函数f(x)与g(x)有且只有一个交点，必有g(x)在y轴上的截距高于(0,1)点
即a>1，此即实数a的范围

Answer 2

当x大于0时，为增函数，值域为R；当x小余0时，值域为负无穷到1，要使f（x)+x-a=0则a大于等于1。
可以令g(x)=f(x)+x-a,分开求导，再求值域，画图，就很明显了。3的x次方求导结果为ln3*3^x，为增函数。

Answer 3

到底是log(2^x)还是(log2)^x?

追问

是（log2）^x