Question

概率统计变量替换 令X是一个离散的随机变量，它的概率函数是f(x).假设离散的随机变量U在X的各值上被

U=Φ(X)确定；相反地，若X的每一个值都对应唯一的一个值，则X=Ψ(U).于是U的概率函数由下式给出：g(u)=f[Ψ(u)]
推导过程是：g(u)=P(U=u)=P[Φ(X)=u]=P[X=Ψ(u)]=f[Ψ(u)]

P[Φ(X)=u]=P[X=Ψ(u)]怎么能相等呢？

Answer 1

如果Φ是一一对应的函数，那么它的逆函数Ψ也是一一对应的。
所以U=Φ(X)的充要条件是X=Ψ(U)，所以两者概率相等。
打个比方，如果U=Φ(X)=2X，那么U=2就代表X=1，所以U=2发生的概率自然等于X=1发生的概率