Question

设函数f（x）对任意x∈R满足f（x）=f（4-x），如果方程f（x）=0恰有2011个实根，则所有这些实根的和是？

设函数f（x）对任意x∈R满足f（x）=f（4-x），如果方程f（x）=0恰有2011个实根，则所有这些实根的和是？

Answer 1

解答：
函数f（x）对任意x∈R满足f（x）=f（4-x）
∴ 函数f(x)的图像关于直线x=2对称
∴ 若 x=m是f(x)=0的根，则4-m也是f(x)=0的根
∴ 方程f（x）=0的根成对出现，关于x=2对称，
每一组根的和都是4
2011是一个奇数
∴ 共有2010/2对关于2对称的根
和为 2010/2 *4=4020
还有一个根必须自身关于2对称，
只能是2
∴ 所有实根的和是 4020+2=4022

Answer 2

如果有任意一个数a≠4，满足f（a）=0，那么f（4-a）也等于0。因此所有不等于4的实数根是成对的，每对的和为a+（4-a）=4。现在有2011个跟是奇数个，所以必然是2010个不是4的跟和4组成。不是4的跟有1005对。所以这2011个跟的和是4×1005+4=4024.

Answer 3

f（x）=f（4-x）可知对称轴为x=2，那么和就为2011×2=4022 用为恰有2011个根为奇数 所以必有x=2为根 其余关于对称轴成对存在