Question

一道证明数列极限存在的小题

一道证明数列极限存在的小题例题4的最后一步有点懵，我把它改成这样行么？

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Answer 1

当然不行，题目要证明的是a(n)是单调有界，你证明y函数是单调增的，和数列单调有什么关系？y又成不了“下一个"x

追问

找到了上界
然后证明单调增加
于是数列极限存在了啊

而且，主要问题就是要证明极限单调增加。
例题中的最后一步可能因式分解比较多，所以我就转变了一种方式

追答

y表达式的单调增和数列的单调增没有关系，这是关键

追问

额，只能证明单调么

这是什么原理，老哥懂吗

追答

感觉你的两个例子至少要证明当a(n+1)=f(a(n)) , f'(x)>0时a(n)是单调增的数列
你可以试图证明一下看看

追问

还要验证a1<a2

嗯，懂了
导数>0说明，a(n)与a(n+1)是同增同减的关系，即数列中任意相邻两数皆满足这种关系。所以数列单调。然后比较数列一二项大小，证的数列单调递增

追答

是的，a(n+1)-a(n) > a(n)-a(n-1) ...>a2-a1

追问

额，不对吧，数列都有极限了，a(a+1)=a(n)

a(n+1)=a(n)，打错了

前提，n—>无穷

追答

数列有极限不等于a(n+1)=a(n)，只能说明他们之间的差越来越小

且你这个题目是要证明它有极限，所以你也不能用有极限来解题

追问

列与子列的关系，同济第六版高等数学p30定理四

而且我不是用这个定理来证明此题，你看前面我说的"嗯，懂了"的那句话

起码在大学阶段这个定理适用