Question

在正方形纸片ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,沿过点B的直线折叠,使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M

BM与EF交与点P 再展开 则下列结论中 ①CM=DM ② 角ABM=30° ③△PMN是等边三角形 正确的有 （ ）
并对正确结论加以证明

Answer 1

解：∵△BMN是由△BMC翻折得到的，
∴BN=BC，又点F为BC的中点，
在Rt△BNF中，sin∠BNF=BF/BN=1/2，
∴∠BNF=30°，∠FBN=60°，
∴∠ABN=90°-∠FBN=30°，故②正确；
在Rt△BCM中，∠CBM=1/2∠FBN=30°，
∴tan∠CBM=tan30°=CM/BC=√3/3，
∴BC=√3CM，AB²=3CM²故③正确；
∠NPM=∠BPF=90°-∠MBC=60°，∠NMP=90°-∠MBN=60°，
∴△PMN是等边三角形，故④正确；
由题给条件，证不出CM=DM，故①错误．
故正确的有②③④，共3个．

Answer 2

1. 三角形NBF中，BF=0.5NB，∠NFB为直角，即SIN∠BNF=BF/NB=0.5，所以∠BNF=30度。
而∠NBF=90-30=60度。
又因为∠NBF=∠NBM+∠MBF=2∠MBF（因为是翻折过来的）
∠NBM=∠MBF=∠NBF/2=60/2=30度。
则MC=BC*SIN30=BC/2，即M点为中点。所以MC=DM
2 ∠ABN=90-∠NBF=90-60=30度
3 因为PB=PC=NP，NM=MC＜PC,三角形NMP这等腰三角形，并不是等边三角形。
正确的是1与2，错误的是3

Answer 3

据题给条件，证不出①CM=DM；△BMN是由△BMC翻折得到的，故BN=BC，又点F为BC的中点，可知：sin∠BNF=
BF/BN=
1/2，
求出∠BNF=30°，继而可求出②∠ABN=30°；在Rt△BCM中，∠CBM=30°，继而可知BC=
3CM，可以证出③AB2=3CM2；求出∠NPM=∠NMP=60°，继而可证出④△PMN是等边三角形