Question

设函数fx=2x gx=x^2-2ax+1 若全部x1属于[-1,1]总存在x2属于[-1,1]使g(x2)=f(x1)成立 求正整数a的最小值

Answer 1

解：依题得：x1属于[-1,1]，则fx=2x,fx属于[-2,2]，（可画图表示）
又g(x)=x^2-2a+1=(x-a)^2-a^2+1,即gx的对称轴x0=a，则存在三种情况：
1、a<=-1,则g(a)<0,同时，在[-1,1]中最小值g(-1)=1+2a+1=2(1+a)<0,最大值g(1)=1-2a+1=2(1-a)>0;全部x1属于[-1,1]总存在x2属于[-1,1]使g(x2)=f(x1)成立，则g(-1)<=-2,且g(1)>=2，所以，a=<-2且a<=0，即a<=-2
2、-1<a<1,则g(a)>0,又g(x)最小值为g(a)>0,不符合要求，舍去
3、a<=1,则g(a)<0,同时，在[-1,1]中最小值g(1)=1-2a+1=2(1-a)<0,最大值g(-1)=1+2a+1=2(1+a)>0;
全部x1属于[-1,1]总存在x2属于[-1,1]使g(x2)=f(x1)成立，则g(1)<=-2,且g(-1)>=2，所以，a>=2且a>=0，即a>=2,
综上可得：a<=-2或a>=2，即正整数a最小值为2
（可以数形结合，便于观察获得）

Answer 2

　　f(x)=2x g(x)=x^2-2ax+1
　　f(x)=g(x) x^2-2ax+1=2x x∈【-1,1】
x^2-2(a+1)x+1=0
因为存在X1，X2，所以△=4a^2+8a≥0
a≥0或a≤-2
由题求可知a是正整数，所以a≥0
所以a=1