三重积分先二后一截面法问题。

求∫∫∫3zdv,积分区域是Ω是z=1-x²-¼y²(0≦z≦1),我知道可以变成3∫zdz∫∫dxdy,而后面与z有关的截面不会求了,谁能... 求∫∫∫3zdv,积分区域是Ω是z=1-x²-¼y²(0≦z≦1),我知道可以变成 3∫zdz∫∫dxdy,而后面与z有关的截面不会求了,谁能说一下这个问题,同时一般三重积分像椎体域或者球形域等用先二后一方法中那个“二”的截面积算法。 展开
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丘冷萱Ad
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首先那个截面必须是一个你很熟悉的平面图形,面积容易计算。
截面的写法其实很简单:就是侧面的曲面方程,只不过做截面时z当作常数看待。
因此截面方程为:x²+y²/4=1-z,这是一个椭圆,a=√(1-z),b=2√(1-z)
椭圆面积为:πab=2π(1-z)

因此原式=3∫[0→1] z dz∫∫dxdy
=6π∫[0→1] z(1-z) dz
=6π[(1/2)z²-(1/3)z³] |[0→1]


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