Question

证明向量组α1,α2···αs的任意r个线性无关的向量都是该向量组的一个最大线性无关组

证明向量组α1,α2···αs的任意r个线性无关的向量都是该向量组的一个最大线性无关组，其中r为α1，α2···αs的秩

Answer 1

对向量组的一个极大无关组 ai1,...,air
根据极大无关组的定义
只需证明其余向量可由ai1,...,air线性表示

对向量组中任一向量b
若b不能由ai1,...,air线性表示
则 ai1,...,air,b 线性无关
所以向量组的秩至少为 r+1
这与向量组的秩为r矛盾
所以b可由ai1,...,air线性表示
所以ai1,...,air是一个极大无关组.