Question

如图，菱形ABCD的边长为2cm，角DAB=60度，点P从A点出发，以根号3cm/s的速度运动，当P运动到C点时，P.Q...

如图，菱形ABCD的边长为2cm，角DAB=60度，点P从A点出发，以根号3cm/s的速度运动，当P运动到C点时，P.Q都停止运动，点P运动时间为ts.
(1)当P异于A.C时，请说明PQ//BC.
(2)以P为圆心，PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中。t为怎样的值时，圆P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？
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Answer 1

解：（1）因为四边形ABCD为菱形，所以AB=BC=2，角BAC=1／2角DAB。又因为角DAB=60度，所以角BAC=角BCA=30度。连接BD交AC于点O，因为四边形ABCD为菱形，所以AC垂直于BD，OA=1／2AC。所以OB=1／2AB=1。所以OA=根号3，AC=2根号3。运动t秒时，AP=根号3t,，AQ=t,所以AP／AQ=AC／AB=根号3。又因为角PAQ=角CAB，所以三角形PAQ相似于三角形CAB。所以角APQ=角ACB，所以PQ／／BC。（2）圆P与BC切于点M，连接PM，则PM垂直于BC。在Rt三角形CPM中，因为角PCM=30度，PM=1／2PC=根号3-根号3／2•t。由PQ=AQ=t,即根号3-根号3／2•t=t,解得t=4根号3-6，此时圆P与边BC有一个公共点。圆P过点B，此时PQ=PB，因为角PQB=角PAQ 角APQ=60度，所以三角形PQB为等边三角形，所以QB=PQ=AQ=t,所以t=1,所以当4根号3-根号6＜t小于等于1时，圆P与边BC有两个公共点。圆P过点C，此时PC=PQ，即2根号3-根号3t=t,所以t=3-根号3。所以当1＜t小于等于3-根号3时，圆P与边BC有一个公共点。当点P运动到点C，即t=2时，圆P过点B，此时圆P与边BC有一个公共点。所以当t=4根号3-6或1小于t小于等于3-根号3或t=2时，圆P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；当4根号3-6小于t小于等于1时，圆P与边BC有2个公共点。

Answer 2

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC=∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC?BD，OA=AC，
∴OB=AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴OA=，AC=2OA=2，
运动ts后，，
∴
又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，
则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，
∴PM=PC=
由PM=PQ=AQ=t，即=t
解得t=4﹣6，此时⊙P与边BC有一个公共点；
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形，
∴QB=PQ=AQ=t，
∴t=1
∴时，⊙P与边BC有2个公共点．
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即2t=t，
∴t=3﹣．∴当1≦t≦3﹣时，⊙P与边BC有一个公共点，
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，
此时，⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t=4﹣6或1＜t≦3﹣或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；

当4﹣6＜t≦1时，⊙P与边BC有2个公共点．

Answer 3

解：（1）∵四边形ABCD是菱形，且菱形ABCD的边长为2cm，
∴AB=BC=2，∠BAC=12∠DAB，
又∵∠DAB=60°（已知），
∴∠BAC=∠BCA=30°；
如图1，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=12AC，
∴OB=12AB=1（30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴OA=3，AC=2OA=23，
运动ts后，AP=
3t，AQ=t，
∴APAQ=
ACAB=
3
又∵∠PAQ=∠CAB，
∴△PAQ∽△CAB，
∴∠APQ=∠ACB（相似三角形的对应角相等），
∴PQ∥BC（同位角相等，两直线平行）…5分
（2）如图2，⊙P与BC切于点M，连接PM，则PM⊥BC．
在Rt△CPM中，∵∠PCM=30°，∴PM=12PC=3-
32t
由PM=PQ=AQ=t，即3-
32t=t
解得t=43-6，此时⊙P与边BC有一个公共点；
如图3，⊙P过点B，此时PQ=PB，
∵∠PQB=∠PAQ+∠APQ=60°
∴△PQB为等边三角形，∴QB=PQ=AQ=t，∴t=1
∴当4
3-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．
如图4，⊙P过点C，此时PC=PQ，即23-
3t=t，∴t=3-3．
∴当1＜t≤3-3时，⊙P与边BC有一个公共点，
当点P运动到点C，即t=2时，⊙P过点B，此时，⊙P与边BC有一个公共点，
∴当t=43-6或1＜t≤3-3或t=2时，⊙P与菱形ABCD的边BC有1个公共点；
当43-6＜t≤1时，⊙P与边BC有2个公共点．参考资料：有几个根号没有

Answer 4

图在这

Answer 5