Question

如图，已知AB是圆O的直径，点P在弧AB上（不含点A,B）

如图，已知AB是圆O的直径，点P在弧AB上（不含点A,B），把△AOP沿OP对着，点A的对应点C正好落在圆O上
1，当P在AB上方，C在AB下方时，OP是否平行于BC？证明结论
2：当P,C都在AB上方时，过点C做CD⊥直线AP于D，且CD是圆O的切线，证明AB=4PD

Answer 1

1.结论OP∥BC是成立的
∵△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO
∴∠APC=2∠APO
∠APC和∠ABC都是弧AC对应的圆周角
∴∠ABC=∠APC=2∠APO
∵∠POB=∠PAO+∠APO=2∠APO
∴∠ABC=∠POB
内错角相等 两直线平行

2.当P,C都在AB上方时，
∵CD⊥AD，OC⊥CD
∴OC∥AD，∴∠POC=∠APO(内错角相等)
∵∠AOP=∠POC，∴∠AOP=∠APO
∴△APO是等边△，△POC也是等边△
根据切线定理，∠DCP=∠POC的一半，等于30°
∴Rt△PDC中，PC=2PD
∵AB=2OC=2PC
∴AB=4PD

Answer 2

见附件。传图要慢些。稍等。

Answer 3

已知，AB是⊙O的直径，点P在弧AB上（不含点A、B），把△AOP沿OP对折，点A的对应点C恰好落在⊙O上．
（1）当P、C都在AB上方时（如图1），判断PO与BC的位置关系（只回答结果）；
（2）当P在AB上方而C在AB下方时（如图2），（1）中结论还成立吗？证明你的结论；
（3）当P、C都在AB上方时（如图3），过C点作CD⊥直线AP于D，且CD是⊙O的切线，证明：AB=4PD．（图同上）
解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；

（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：
由折叠可知：△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，
又∵OA=OP，
∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠CPO，
又∵∠A与∠PCB都为弧PB所对的圆周角，
∴∠A=∠PCB，
∴∠CPO=∠PCB，
∴PO∥BC；

（3）∵CD为圆O的切线，
∴OC⊥CD，又AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠APO=∠COP，
由折叠可得：∠AOP=∠COP，
∴∠APO=∠AOP，
又OA=OP，∴∠A=∠APO，
∴∠A=∠APO=∠AOP，
∴△APO为等边三角形，
∴∠AOP=60°，
又∵OP∥BC，
∴∠OBC=∠AOP=60°，又OC=OB，
∴△BCO为等边三角形，
∴∠COB=60°，
∴∠POC=180°-（∠AOP+∠COB）=60°，又OP=OC，
∴△POC也为等边三角形，
∴∠PCO=60°，PC=OP=OC，
又∵∠OCD=90°，
∴∠PCD=30°，
在Rt△PCD中，PD=1/2PC
又∵PC=OP=1/2AB
∴PD=1/4AB，即AB=4PD．

Answer 4

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