Question

如图，△ABC中，点P为BC边上的中点，直线a绕顶点A旋转，若点B,P在直线A同侧，BM⊥直线a于点M，

CN⊥直线a于点N，连接PM、PN，证明PM=PN
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Answer 1

两种情况

（1）如图1，过P作PQ垂直直线a，垂足为Q

因为BM⊥直线a，CN⊥直线a，

所以PQ平行BM平行CN

因为P是BC中点

所以Q也是MN中点

所以PQ垂直平分MN

所以PM=PN

（2）如图2，分别延长MP，CN交于点Q

因为BM⊥直线a，CN⊥直线a，

所以BM平行CQ，角CNM=QNM=90度

所以角PBM=PCQ，角PMB=角Q

因为BP=PC

所以三角形PBM与PCQ全等

所以PM=PQ

因为角QNM=90度

所以PN=1/2QM=PM

Answer 2

证明：①如图2：
∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMA=∠CNM=90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBP=∠ECP，
又∵P为BC边中点，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
∴△BPM≌△CPE，（3分）
②∵△BPM≌△CPE，
∴PM=PE∴PM=12ME，
∴在Rt△MNE中，PN=12ME，
∴PM=PN．（5分）

（2）解：成立，如图3．
证明：延长MP与NC的延长线相交于点E，
∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，
∴∠BMN=∠CNM=90°∴∠BMN+∠CNM=180°，
∴BM∥CN∴∠MBP=∠ECP，（7分）
又∵P为BC中点，
∴BP=CP，
又∵∠BPM=∠CPE，
在△BPM和△CPE中，
∠MBP=∠ECPBP=CP∠BPM=∠CPE​，
∴△BPM≌△CPE，
∴PM=PE，
∴PM=12ME，
则Rt△MNE中，PN=12ME，
∴PM=PN．（10分）

（3）解：如图4，
四边形M′BCN′是矩形，
根据矩形的性质和P为BC边中点，得到△M′BP≌△N′CP，（11分）
得PM′=PN′成立．即“四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立”．（12分）