Question

二、如图，已知点P为正方形ABCD内一点，连结PA、PB、PC。1.将△PAB绕点B顺时针旋转90度到△P'CB的位置（如

二、如图，已知点P为正方形ABCD内一点，连结PA、PB、PC。1.将△PAB绕点B顺时针旋转90度到△P'CB的位置（如图1）⑴设AB的长为a，PB的长为b(b<a)，求△PAB旋转到△P'CB的过程中边PA所扫过区域(图1钟阴影部分）的面积。⑵若PA=2,PB=4,∠APB=135度，求PC的长。2.如图（2），若PA

Answer 1

解：
1、
∵将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，
∴△PAB≌△P'AB，
∴S△PAB=S△P'AB，
∴S阴影=S扇形BAC-S扇形BPP′= π/4*（a²-b²）；
2、
连接PP′
∵△APB≌△CP′B，
∴BP=BP′=4，P′C=PA=2，∠PBP′=90°，
∴△PBP'是等腰直角三角形
∴P'P²=PB²+P'B²=32
∵∠BP′C=∠BPA=135°，
∴∠PP′C=∠BP′C-∠BP′P=135°-45°=90°
∵△PP′C是直角三角形
∵PC²= P′P²+P′C²=36
∴PC=6

Answer 2

试题分析：（1）①△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度；
②连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠＝90°，再证∠BPC＋∠APB＝180°，即点P在对角线AC上．

②连接PP′

根据旋转的性质可知：
BP=BP′，∠PBP′=90°；
即：△PBP′为等腰直角三角形，
∴∠BPP′=45°，
∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，
∴∠BPA+∠BPP′=180°，
即A、P、P′共线，
∴∠PP′C=135°-45°=90°；
在Rt△PP′C中，PP′=4，P′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6．
（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．

同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2=2PB2；
∵PA2+PC2=2PB2=PP′2，
∴PC2+P′C2=PP′2，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∵∠BPA=∠BP′C，
∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．
考点：扇形的面积公式，旋转的性质，三角形的性质，正方形的性质
点评：本题知识点多，综合性强，是中考常见题，需要学生熟练掌握平面图形的基本概念，难度较大.